Luyện tập Toán Lớp 12 - Bài: Nguyên hàm

Nội dung tài liệu: Luyện tập Toán Lớp 12 - Bài: Nguyên hàm

1. LUY ỆN T ẬP NGUYÊN HÀM x3 Câu 1: Hàm s ố F() x= + e x là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố nào trong các hàm s ố sau đây? 3 x4 x4 A. f() x= + e x.. B. fx( ) =3 x2 + e x . C. f() x= + e x . D. fx( ) = x2 + e x . 3 12 Câu 2: Cho ∫ fx( )d x= Fx( ) + C . Khi đó v ới a ≠ 0 , a , b là h ằng s ố ta có ∫ f( ax+ b)d x bằng 1 1 A. faxb()+d x = Faxb() ++ C . B. faxbx()+=d Faxb() ++ C . ∫ a ∫ a+ b C. ∫ fax( + b)d x = Fax( ++ b) C . D. ∫ f( ax+ b)d x = aFax( ++ b) C . Câu 3: Giá tr ị m để hàm s ố Fx( ) = mx3+(3 m + 2) x 2 −+ 43 x là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố fx( )= 3 x2 + 10 x − 4 là A. m = 3 . B. m = 0. C. m =1. D. m = 2 . Câu 4: Tìm nguyên hàm F( x) = ∫π 2d x . π 3 π 2x 2 A. Fx( ) =π 2 xC + . B. Fx( ) =2π xC + . C. F() x= + C . D. F() x= + C . 3 2 Câu 5: Họ nguyên hàm c ủa hàm s ố fx( ) =( x2 − 3 xx )( + 1) là x4 2 3 x4 2 3 A. −−x3 + x 2 + C . B. −x3 − x 2 . 4 3 2 4 3 2 x4 2 3 x4 2 3 C. +x3 − x 2 + C . D. −x3 − x 2 + C . 4 3 2 4 3 2 1 Câu 6: Nguyên hàm c ủa hàm s ố fx() = x2 −3 x + là x x33 x 2 x33 x 2 1 A. − +ln x + C . B. − + + C . 3 2 3 2 x2 x33 x 2 C. x3−3 x 2 + ln xC + . D. − −ln x + C . 3 2 3 Câu 7: Nguyên hàm c ủa hàm s ố f() x= x 3 − + 2x là. x2 x4 3 x4 3 2 x A. + +2x .ln 2 + C . B. + + + C . 4 x 4x ln 2 x3 1 x4 C. + +2x + C . D. −3lnx2 + 2x .ln 2 + C . 3 x3 4 Câu 8: Cho hàm s ố f( x) = e 2019 x . Nguyên hàm ∫ f( x)d x là e2019 x A. fxxe( )d =2019 x + C . B. fxx()d = + C . ∫ ∫ 2019 x 1 C. fxx( )d= 2019 e2019 x + C . D. fxx()d = e2019 x + C . ∫ ∫ 2019
2. ln x Câu 9: Tìm nguyên hàm c ủa hàm s ố f() x = . x 1 A. fxx( )d= ln 2 xC + . B. fxx()d= ln 2 xC + . ∫ ∫ 2 C. ∫ fxx( )d= ln xC + . D. ∫ fx( )d x= ex + C . Câu 10: Tìm h ọ nguyên hàm c ủa hàm s ố f( x) = sin2018 x . cos 2018 x cos 2018 x A. + C . B. − + C . 2018 2019 cos 2018 x C. − + C . D. 2018cos 2018 x+ C . 2018 Câu 11: Họ nguyên hàm c ủa hàm s ố fxx( ) =2 + cos x là 1 1 A. 2x− sin x + C . B. x3 +sin x + C . C. x3 −sin x + C . D. x3 +sin x + C . . 3 3 Câu 12: Mệnh đề nào sau đây đúng? dx dx 1 dx A. = + B. = + C C. =x + C D. x= x + ∫ 2 x C . ∫ 2 . ∫ ln . ∫ 2 dx 2 C . x x x x +1 Câu 13: Cho f( x ) , g( x ) là các hàm s ố xác định và liên t ục trên ℝ . Trong các m ệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ∫fxgx( ) ( )d x= ∫ fx( ) d. xgx ∫ ( ) d x . B. ∫2fxx( ) d2= ∫ fxx( ) d . C. ∫fx( ) + gx( )  d x = ∫ fxx( ) d + ∫ gxx( ) d . D. ∫fx( ) − gx( )  d x = ∫ fxx( ) d − ∫ gxx( ) d . 1 Câu 14: Nếu f() xd x = +l n x + C thì f( x ) là ∫ x 1 A. f (x) =x +ln x + C . B. f() x =−x ++ln x + C . x 1 x −1 C. f ()x=− +ln x + C . D. f() x = . x2 x2 x2 − x + 1 Câu 15: Tìm h ọ nguyên hàm c ủa hàm s ố f() x = . x −1 1 1 x2 A. x+ + C . B. 1+ + C . C. +lnx − 1 + C . D. x2 +ln x − 1 + C . x −1 ()x −1 2 2 Câu 16: Tìm h ọ nguyên hàm c ủa hàm s ố f( x ) = 52x . 52x 25 x A. 52x d x =2. + C . B. 52x d x = + C . ∫ ln 5 ∫ 2ln 5 25 x+1 C. 52x d x =2.52x ln5 + C . D. 52x d x = + C . ∫ ∫ x +1 3 1  3  Câu 17: Hàm s ố f()() x=2 x + 1 có m ột nguyên hàm F( x ) th ỏa F   = 4 . Tính P= F   . 2  2  A. P = 32 . B. P = 34 . C. P =18 . D. P = 30 .
3. 4 Câu 18: Tìm h ọ nguyên hàm c ủa f() x = . x2 +6 x + 9 4 2 4− 4 A. dx= + C . B. dx= + C . ∫ x2 +6 x + 9 x + 3 ∫ x2 +6 x + 9 x + 3 4− 4 4 4 C. dx= + C . D. dx= + C . ∫ x2 +6 x + 9 x − 3 ∫ x2 +6 x + 9 x + 3 Câu 19: Nguyên hàm c ủa hàm s ố fx( ) = 2sin3 x cos2 x là: 1 1 A. −cos5x − cos x + C . B. cos5x+ cos x + C . 5 5 C. 5cos5x+ cos x + C . D. Kết qu ả khác. I=(sin x − cos xx )2 d Câu 20: Tính ∫ . 1 1 A. Ix= +cos2 xC + . B. Ix= −cos2 xC + . 2 2 1 1 C. Ix=−−cos2 xC + . D. Ix=−+cos2 xC + . 2 2 I= ex5 − ex x d Câu 21: Tính ∫ . 2 3 2 3 A. I=5 − ex + C . B. I=−5 − ex + C . 3( ) 3( ) 3 3 2 2 C. I=−5 − ex + C . D. I=−5 − ex + C . 4( ) 3( ) F( x) = ax3 + bx 2 ++ cx 1 F( x ) Câu 22: Hãy xác định hàm s ố . Bi ết là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố y= f( x ) f (1) = 2 f (2) = 3 f (3) = 4 th ỏa mãn , và . 1 1 A. Fx() = x3 + x 2 ++ x 1. . B. Fx() = xx3 ++ 2 2 x + 1. . 2 3 1 1 1 C. Fx() = x2 + x + 1. . D. Fx() = x3 + xx 2 ++ 1. . 2 3 2 x − 2 Câu 23: Cho F( x ) là m ột nguyên hàm c ủa y = . N ếu F (−1) = 3 thì F( x ) bằng x3 1 1 1 1 1 1 1 1 A. + + 3. B. − − 3. C. − − + 1. D. − + + 1. x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 Câu 24: Họ nguyên hàm c ủa hàm s ố f( x )= 22x .3.7 x x là 84 x 22x .3 x .7 x A. + C . B. + C . C. 84 x + C . D. 84x .ln84 + C . ln84 ln 4.ln 3.ln 7 2x − 1 Câu 25: Nguyên hàm c ủa hàm s ố là. ex 2x 2x A. −e−x + C . B. +e−x + C . ex ()ln 2− 1 ex ()ln 2− 1 −2x 2x C. +e−x + C . D. +2e−x + C . ex ()ln 2− 1 ex ()ln 2− 1
4. sin2 2x d x Câu 26: Nguyên hàm ∫ là. 1 1 1 A. x−sin 4 x + C . B. sin3 2 x+ C . 2 8 3 1 1 1 1 C. x−sin 4 x + C . D. x+sin 4 x + C . 2 4 2 8 Câu 27: Họ nguyên hàm c ủa hàm s ố fx( ) =4 x( 1 + ln x ) là A. 2x2 ln x+ 3 x 2 . B. 2x2 ln x+ x 2 . C. 2x2 ln x+ 3 x 2 + C . D. 2x2 ln xx+ 2 + C . Câu 28: Tìm nguyên hàm c ủa hàm s ố f( x) =(8 x − 25) .7 x . A. ∫ fxx( )d= 7ln78x ( x −− 25 8ln7 ) + C . 7x 7 x B. f()() x dx=−8 x 25 − 8 + C . ∫ ln7 ln 7 1 8 C. = −+x x + ∫ fxx()d() 825.7 x2 7 C . ln 7 ()ln 7 1 8 D. = −−x x + ∫ fxx()d() 825.7 x2 7 C . ln 7 ()ln 7 π Câu 29: 1   Bi ết F( x ) là m ột nguyên hàm c ủa fx( )=(4 x − 5) sin 2 x và F ()0 = . Khi đó giá tr ị F   2  4  bằng bao nhiêu? A. 2 . B. −3. C. −1. D. 3. x − 3 Câu 30: Khi tính nguyên hàm ∫ dx , b ằng cách đặt u= x + 1 ta được nguyên hàm nào? x +1 A. ∫ 2u( u2 − 4) d u . B. ∫ (u2 − 4) d u . C. ∫ 2(u2 − 4) d u . D. ∫ (u2 − 3) d u . 1+ ln x Câu 31: Tìm nguyên hàm I= dx ∫ x ln 2 x ln 2 x A. I=ln x + + C . B. I= x + + C . 2 2 C. I=ln x + ln 2 xC + . D. Ix= +ln 2 xC + . I= x(1 − x2 ) 2017 dx Câu 32: Tính ∫ (1− x2 ) 2018 (1− x2 ) 2018 A. I= − + C . B. I= + C . 2018 2018 (1− x2 ) 2018 (1− x2 ) 2018 C. I= − + C . D. I= + C . 4036 4036 4x− 1 I= dx ∫ 2 Câu 33: Tính 4x− 2 x + 5 1 1 A. I= + C . B. I= − + C . 4x2 − 2 x + 5 4x2 − 2 x + 5
5. 1 C. I=ln 4 xx2 −++ 2 5 C . D. I=ln 4 xx2 −++ 2 5 C . 2 2 Câu 34: Hàm F( x ) nào d ưới đây không ph ải là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố f() x= xe x ? 1 2 1 2 A. F() x= e x + 2 . B. F() x= e x + 5 . 2 2 ( ) 1 2 1 2 C. Fx() = − ex + C . D. F() x= −2 − e x . 2 2 ( ) 3 a a Câu 35: Cho exx() e−1 dx = ( e xm −+ 1) C (v ới a, b∈ Z , là phân s ố tối gi ản). Tìm H= a2 + b − m . ∫ b b A. H = − 4 . B. H = − 1 . C. H = 4 . D. H = 1. F x fx= xln x F′′ x Câu 36: Cho ( ) là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố ( ) . Tính ( ) . 1 A. F′′ ( x) =1 − ln x . B. F′′ () x = . C. F′′ ( x) =1 + ln x . D. Fx′′ ( ) = x + ln x . x Câu 37: Tìm h ọ của nguyên hàm f( x) = tan2 x . A. ∫ tan 2xx d= 2( 1 + tan2 2 xC) + . B. ∫ tan 2xx d= − ln cos2 xC + . 1 1 C. tan2xx d=() 1 + tan2 2 xC + . D. tan 2xx d= − ln cos2 xC + . ∫ 2 ∫ 2 Câu 38: 2x Bi ết F( x ) là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố fx( )=(2 x − 5 ) e và F (3)= 1 . Bi ết x= x o là nghi ệm c ủa F( x)= xe 2x . Kh ẳng định nào sau đây đúng? 1 3 3 3 3 1 A. <x < . B. <x < 1. C. −1 <x <− . D. − <x <− . 30 4 4 0 0 4 40 3 Câu 39: Họ nguyên hàm c ủa hàm s ố fxx( ) =(1 + sin x ) là x2 x2 A. −xsin x + cos xC + . B. −xcos x + sin xC + . 2 2 x2 x2 C. −xcos x − sin xC + . D. −xsin x − cos xC + . 2 2 Câu 40: Tìm nguyên hàm I=∫ ( x2 −2 x + 3sin) xdx . 2 A. I=−−−( xx2 2 3cos) xx +− 2( 1sin) xC + . B. I=−−( x1) cos xx +− 2( 1sin) xC + . 2 C. I=−−−( xx2 2 5cos) xx −− 2( 1sin) xC + . D. Ix=−( 1) cos xx −− 2( 1sin) xC + . I=( xx2 + + 1) exx d Câu 41: Tính ∫ A. I=( x2 −+ x2) eCx + . B. I=−( xx2 −+2) eCx + . C. I=( x2 ++ x2) eCx + . D. I=( x2 −− x2) eCx + . Câu 42: Tìm nguyên hàm c ủa hàm s ố I= ∫ cos 2 xe3x d x e3x e3x A. I=−()3cos 2 x + 2sin 2 xC + . . B. I=()3cos 2 x − 2sin 2 xC + . . 13 13
6. −e3x e3x C. I=()3cos 2 x + 2sin 2 xC + . . D. I=()3cos2 x + 2sin2 xC + . . 13 13 Câu 43: Tìm nguyên hàm c ủa hàm s ố fx( ) = ex sin x . 1 A. exsind xxe= x sin xC + . . B. exsin xx d=() e x sin xe + x cos xC + . . ∫ ∫ 2 1 C. exsin xxe d= x cos xC + . . D. exsin xx d=() e x sin xe − x cos xC + . ∫ ∫ 2 I=(2 x + 1) ln( xx + 1) d Câu 44: Tính ∫ . 1 1 A. I=−() xxx2 +ln() +− 1 xC 2 + . B. Ixx=+()2ln() x ++ 1 xC 2 + . 2 2 1 1 C. Ixx=+()2ln() x +− 1 xC 2 + . D. I=−() xxx2 +ln() ++ 1 xC 2 + . 2 2 1 Câu 45: Nguyên hàm ∫ dx bằng. 1+ x A. 2x+ 2ln| x + 1| + C . B. 2 x+ C . C. 2ln |x+ 1| + C . D. 2x− 2ln( x + 1 ) + C . 1 Câu 46: Nguyên hàm c ủa hàm s ố f() x = là. x+1 + x − 1 (x+1) x + 1( x − 1) x − 1 (x+1) x + 1( x − 1) x − 1 A. − + C . B. − + C . 2 2 3 3 (x+1) x + 1( x − 1) x − 1 C. − + C . D. ( x+1) x +−− 1( x 1) xC −+ 1 . 4 4 x = I∫ 4 d x 1− x Câu 47: Tính () . 1 1 1 1 A. I= − + C . B. I=− + + C . 21()−x2 31() − x 3 21()−x2 31() − x 3 1 1 1 1 C. I=− + + C . D. I= − + C . 31()−x2 41() − x 3 31()−x2 41() − x 3 cos 3 x Câu 48: Họ nguyên hàm c ủa hàm s ố f( x ) = sau phép đặt t=2 + sin x là 2+ sin x t 2 A. F() t=−+ 4 t 3ln|t| + C . B. Ft()=−− t2 2 t ln|t| + C . 2 t 2 C. Ft()=−+ t2 2 t + ln|t| + C . D. F() t=−+− 4 t 3ln|t| + C . 2 dx Câu 49: Tìm nguyên hàm I = . ∫1+ ex A. Ix=−ln 1 − eCx + . B. Ix=−ln 1 + eCx + . C. Ix=−−ln 1 + eCx + . D. Ix=+ln 1 + eCx + .
7. 1 Câu 50: Cho F( x ) là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố f() x = th ỏa mãn F (0) = 10 . Tìm F( x ) . 2ex + 3 1 2ln5 1 A. Fx() =( x −2ln() 2 e x +++ 3) 10 . B. F() x=( x +−10 ln() 2ex + 3 ) . 3 3 3 1x 3   1x 3   ln5− ln 2 C. F() x= x −ln e +   ++ 10 ln5 . D. F() x= x −ln e +   +− 10 . 3 2   3 2   3 dx Câu 51: Nguyên hàm I = là ∫ ex+ e − x + 2 2 1 A. I= − + C . I= − + C ex +1 B. ex +1 . 3 4 C. I= − + C . D. I= − + C . ex +1 ex +1 Câu 52: Cho hàm s ố y= f( x ) có đạo hàm liên t ục trên đoạn [1;2] th ỏa mãn f (1)= 4 và 3 2 fx()= xfx′ ()2 − x − 3. x Giá tr ị của f (2) bằng A. 5. 10 C. 15 . D. 20 . B. . 2 I= xe3 x d x Câu 53: Tìm nguyên hàm ∫ . 12 1 2 12 1 2 A. I=− xe2 x − e x + C .. B. I= xe2 x − e x + C .. 2 2 2 2 12 1 2 12 1 2 C. I= xe2 x + e x + C .. D. I=− xe2 x + e x + C . . 2 2 2 2 ln( 4x2 + 8 x + 3 ) Câu 54: = Tìm nguyên hàm I∫ 3 dx . ()x +1 2 ln( 4x+ 8 x + 3 ) 4x2 + 8 x + 3 A. I= +8ln + C . 21()x+2 41() x + 2 2 ln( 4x+ 8 x + 3 ) 4x2 + 8 x + 3 B. I =− +8ln + C . 21()x+2 41() x + 2 2 ln( 4x+ 8 x + 3 ) 4x2 + 8 x + 3 C. I =− −8ln + C . 21()x+2 41() x + 2 2 ln( 4x+ 8 x + 3 ) 4x2 + 8 x + 3 D. I= −8ln + C . 21()x+2 41() x + 2 Câu 55: Tìm nguyên hàm I= ∫ e3x− 9 d x . 2 2 A. I=−( 391 x −−) eC3x− 9 + . . B. I=( 391 x −−) e3x− 9 + C . . 3 3 2 2 C. I=−( 391 x −−) eC3x− 9 + . . D. I=( 391 x −+) e3x− 9 + C . . 3 3 1 Câu 56: Gọi F( x ) là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố f( x ) = 2x , th ỏa mãn F ()0 = . Tính giá tr ị bi ểu ln 2 th ức TF=(0) + FF( 1) +( 2) ++ ... F ( 2017 ) .
8. 22017 + 1 22017 − 1 22018 − 1 A. T =1009. . B. T = 22017.2018 . C. T = . D. T = . ln 2 ln 2 ln 2 Câu 57: Hàm s ố F( x) =( ax + b) 4 x + 1 ( a, b là các h ằng s ố th ực) là m ột nguyên hàm c ủa 12 x f() x = . Tính a+ b . 4x + 1 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. etan x Câu 58: Bi ết r ằng hàm s ố F( x ) là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố f() x = và th ỏa mãn cos 2 x F (0) = 2020. Kh ẳng định nào sau đây là đúng? A. F( x) = − e tan x + 2021. . B. F( x) = e tan x + 2019. . C. F( x) = − e − tan x + 2021. . D. F( x) = e −tan x + 2019. . Câu 59: Cho F( x ) = x 2 là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố f( x ) e 2x . Khi đó ∫ f'( xe ) 2 x dx bằng A. −x2 +2 x + C . B. −x2 + x + C . C. 2x2 − 2 x + C . D. −2x2 + 2 x + C . 1 Câu 60: Bi ết F( x ) là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố fx( )= ex cos2 x và F ()0 = . Khi đó ph ươ ng trình 5 2ex sin2 x F() x = có bao nhiêu nghi ệm x thu ộc đoạn [0;2 π]. 5 A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1. x3 dx Câu 61: Tính nguyên hàm I = ∫ x4+1 − x 2 6 6 x 1 3 x 1 3 A. I=−() x4 ++1 C . B. I=−+() x4 +1 + C . 6 6 6 6 6 6 x 1 3 x 1 3 C. I=+() x4 ++1 C . D. I=−−() x4 +1 + C . 6 6 6 6 Câu 62: Cho Fx( )=( x − 1) e x là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố f( x) e 2x . Tìm nguyên hàm c ủa hàm s ố f′( x) e 2x . 2− x A. fxedx′( ) 2x=(4 − 2 xe) x + C . B. fxedx′() 2x= e x + C . ∫ ∫ 2 C. ∫ fxedx′( ) 2x=(2 − xe) x + C . D. ∫ fxedx′( ) 2x=( x −2) e x + C . 1 f( x ) Câu 63: Cho F() x = là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố . Tìm nguyên hàm c ủa hàm s ố f′( x)ln x 2x2 x . lnx 1  lnx 1 A. ′   B. f′ xln xdx C f() xln xdx=− 2 + 2  + C . () =2 + 2 + . ∫  x2 x  ∫ x x lnx 1  lnx 1 C. ′   D. f′ xln xdx C f() xln xdx=− 2 + 2  + C . () =2 + 2 + . ∫  x x  ∫ x2 x
9. 1 f x Câu 64: ( ) Cho F() x = − 3 là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố . Tìm nguyên hàm c ủa hàm s ố 3x x f′( x)ln x ln 1 ln 1 A. ′ ln d x B. ′ ln d x ∫ fxxx() =3 − 5 + C . ∫ fxxx() =−3 + 3 + C . x5 x x3 x ln 1 ln 1 C. ′ ln d x D. ′ ln d x ∫ fxxx() =3 + 3 + C . ∫ fxxx() =3 + 5 + C . x3 x x5 x 1 f( x ) Câu 65: Cho F() x = là m ột nguyên hàm c ủa . Tìm nguyên hàm c ủa ( x4− x 3 ) fx'( ) . x2 x A. ∫( xxfx4− 3) '( ) =− 2 x 2 −+ 4 xC . B. ∫( x4− xfx 3) '( ) =++ 2 x 2 4 xC . C. ∫( x4− xfx 3) '( ) =−+ 2 x 2 4 xC . D. ∫( xxfx4− 3) '( ) =− 2 x 2 ++ 4 xC . x 1 Câu 66: Bi ết r ằng hàm s ố F( x ) là m ột nguyên hàm c ủa hàm s ố f() x= x cos 2 và th ỏa mãn F ()0 = ⋅ 2 2 Giá tr ị của F (π ) bằng π 2 1 π 2 1 π 2 1 π 2 A. + ⋅ . B. − ⋅ . C. + ⋅ . D. +1. . 2 2 4 2 4 2 4 Câu 67: Gi ả sử hàm s ố y= f( x ) liên t ục, nh ận giá tr ị dươ ng trên (0; +∞ ) và th ỏa mãn f (1) = 1 , fx( ) = fx′( ). 3 x + 1 , v ới m ọi x > 0 . M ệnh đề nào sau đây đúng? A. 2<f ( 5) < 3 . B. 1<f ( 5) < 2 . C. 4<f ( 5) < 5 . D. 3<f ( 5) < 4 . ′ 2 Câu 68: Cho hàm s ố y= f( x ) liên t ục trên ℝ\{0;− 1}, th ỏa mãn xx(+ 1) fx () + fx () =+ x x với m ọi x∈ℝ \{0; − 1} và f (1)= − 2ln 2. Bi ết f(2)= a + b ln 3 với a, b ∈ℚ . Giá tr ị của t ổng a2+ b 2 bằng 13 A. 0,5 . B. 0,75 . C. . D. 4,5 . 4 1 4 Câu 69: Cho y= f( x ) xác định trên ℝ \ {2} th ỏa mãn f′( x )= ; f(0)= ln 6 và 3x − 6 3 4 f(3)= ln 3. Tính P= f( − 7) + f (11) . 3 A. P = ln162 . B. P = ln 18 . C. P = 2 ln 3 . D. P =3 + ln2 .