12 Đề thi HSG môn Toán 7 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: 12 Đề thi HSG môn Toán 7 (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỨC PHỔ NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề). Ngày thi: 10/4/2016 Câu 1: (5 điểm) 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức P = a a , với a . 2014 2016 2015 6 x 1 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số và là một số nguyên. x 1 3 Câu 2: (5 điểm) a) Cho a > 2, b > 2. Chứng minh ab a b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó. Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vuông tại D và DF > DE, kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M là trung điểm của EF. a) Chứng minh M· DH Eµ Fµ b) Chứng minh EF - DE > DF - DH Câu 4: (2 điểm) a1 a2 a3 ... a15 Cho các số 0 a1 a2 a3 .... a15 . Chứng minh rằng 5 a5 a10 a15 Câu 5: (5 điểm) Cho ∆ABC có µA 1200 . Các tia phân giác BE, CF của ·ABC và ·ACB cắt nhau tại I (E, F lần lượt thuộc các cạnh AC, AB). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho B· IM C· IN 300 . a) Tính số đo của M· IN . b) Chứng minh CE + BF < BC ------------------------------------------Hết--------------------------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. PHÒNG GD-ĐT ĐỨC PHỔ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Trang 1
2. MÔN: TOÁN - LỚP 7 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2015 - 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu NỘI DUNG ĐÁP ÁN Điểm 1 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức P = a a , với a . 2014 2016 2015 0.25 1 1 1 1 1 Thay a vào biểu thức P = 2015 2015 2014 2015 2016 0.5 2.5 đ 1 1 1 1 Ta có P 2014 2015 2015 2016 0.5 1 1 P 2014 2016 0.5 0.5 2016 2014 2 P 0.25 2014.2016 2014.2016 1 1 P = 1007.2016 2030112 6 x 1 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số và là một số nguyên. x 1 3 2.5 đ 6 x 1 0.25 Đặt A = . x 1 3 0.25 2 x 1 = . x 1 1 0.25 2(x 1) x 1 2x 2 0.25 x 1 2(x 1) 4 0.5 x 1 4 2 x 1 Để A nhận giá trị nguyên thì x + 1 là Ư(4) = 1; 2; 4 Suy ra x 0; 2;1; 3;3; 5 2 2. a) Cho a > 2, b > 2. Chứng minh ab a b 1 1 0.5 Từ a 2 a 2 1 1 0.5 2đ b 2 b 2 0.5 0.5 Trang 2
3. 1 1 a b Suy ra 1 1 a b ab Vậy ab a b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, 3đ hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó. Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là S1, S2 , S3 , chiều dài, chiều rộng tương ứng là d ,r ;d ,r ;d ,r theo đề bài ta có 1 1 2 2 3 3 0.5 S1 4 S2 7 ; và d1 d2 ;r1 r2 27;r2 r3 ,d3 24 S2 5 S3 8 0.5 Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài S1 4 r1 r1 r2 r1 r2 27 0.25 3 0.25 S2 5 r2 4 5 9 9 Suy ra chiều rộng r 12cm,r 15cm 1 2 0.25 Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng S2 7 d2 7d3 7.24 0.25 d2 21cm S3 8 d3 8 8 2 0.25 Vậy diện tích hình thứ hai S d r 21.15 315 cm 2 2 2 0.25 4 4 Diện tích hình thứ nhất S S .315 252 cm2 0.25 1 5 2 5 0.25 8 8 Diện tích hình thứ ba S S .315 360 cm2 3 7 2 7 3đ Cho ∆DEF vuông tại D và DF > DE, kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M là trung điểm của EF. a) Chứng minh M·DH Eµ Fµ 0.5 Hình vẽ đúng, chính xác 0.25 Vì M là trung điểm của EF suy ra MD = ME = MF 0.25 ∆MDE cân tại M Eµ M· DE Mà H· DE Fµ cùng phụ với Eµ 0.25 Ta có M· DH M· DE H· DE 0.25 Vậy M·DH Eµ Fµ b) Chứng minh EF - DE > DF - DH Trên cạnh EF lấy K sao cho EK = ED, trên cạnh DF lấy I sao cho DI = DH 0.25 Ta có EF - DE = EF - EK = KF DF - DH = DF - DI = IF 0.25 Ta cần chứng minh KF > IF 0.25 - EK = ED ∆DHK E· DK E· KD 0.25 - E· DK K· DI E· KD H· DK 900 0.25 Trang 3
4. K· DI H· DK 0.25 - ∆DHK = ∆DIK (c-g-c) K· ID D· HK 900 Trong ∆KIF vuông tại I KF > FI điều phải chứng minh 4 Cho các số 0 a1 a2 a3 .... a15 . (2đ) a a a ... a Chứng minh rằng 1 2 3 15 5 a5 a10 a15 Ta có a1 a2 a3 a4 a5 5a5 0.5 0.5 a6 a7 a8 a9 a10 5a10 a11 a12 a13 a14 a15 5a15 Suy ra a1 a2 ........ a15 5(a5 a10 a15 ) 0.5 a a a ... a Vậy 1 2 3 15 5 0.5 a5 a10 a15 Câu 5: (5 điểm) 5 Cho ∆ABC có µA 1200 . Các tia phân phân giác BE, CF của ·ABC và ·ACB (5đ) cắt nhau tại I (E, F lần lượt thuộc các cạnh AC, AB). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho B· IM C· IN 300 . a) Tính số đo của M· IN . b) Chứng minh CE + BF < BC - Vẽ hình đúng, đủ, chính xác. 0.5 a) Tính số đo của M· IN . 0.5 0.5 Ta có ·ABC + ·ACB = 1800 - µA = 600 0.5 1 1 Bµ Cµ 300 0.5 2 2 0.25 B· IC 1500 Mà B· IM C· IN 300 0.25 · 0 MIN 90 0.5 b) Chứng minh CE + BF < BC 0.5 - B· IC 1500 F· IB E· IC 300 0.5 Suy ra ∆BFI = ∆BMI ( g-c-g) BF = BM 0.25 - ∆CNI = ∆CEI ( g-c-g) CN = CE 0.25 Do đó CE + BF = BM + CN < BM + MN + NC = BC Vây CE + BF < BC - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN LỚP 7 Trang 4
5. (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1. Tìm giá trị n nguyên dương: 1 a) .81n 3n ; 27 b) 8 < 2n < 64 Câu 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 4 3 5 7 ... 49 ( ... ) 8 8.15 15.22 43.50 217 Câu 3. Tìm các cặp số (x; y) biết: x y a ) v µ x y = 4 0 5 ; 5 9 1 + 5 y 1 + 7 y 1 + 9 y b ) 2 4 7 x 2 x Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : a) A = x 5 + 5 x 2 17 b) B = x 2 7 Câu 5. Cho tam giác ABC (CA < CB), trên BC lấy các điểm M và N sao cho BM = MN = NC. Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN tại I. a) Chứng minh: I là trung điểm của AN b) Qua K là trung điểm của AB kẻ đường thẳng vuông góc với đường phân giác góc ACB cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng BC tại F. Chứng minh AE = BF Trang 5
6. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7-ĐỨC THỌ Câu 1. Tìm giá trị n nguyên dương: 1 a) (2điểm) .81n 3n ; => 34n-3 = 3n => 4n – 3 = n => n = 1 27 b) (2điểm) 8 23 n = 4, n = 5 Câu 2. Thực hiện phép tính: (3điểm) 1 1 1 1 4 3 5 7 ... 49 ( ... ) 8 8.15 15.22 43.50 217 1 1 1 1 1 1 1 1 5 (1 3 5 7 ... 49) = (1 ... ). 7 8 8 15 15 22 43 50 217 1 1 5 (12.50 25) 1 49 5 625 7.7.2.2.5.31 2 = (1 ). . . 7 50 217 7 50 7.31 7.2.5.5.7.31 5 Câu 3. Tìm các cặp số (x; y) biết: x y x 2 y 2 xy 405 (2điểm) a ) v µ x y = 4 0 5 => 9 5 9 25 81 5.9 45 => x2 = 9.25 = 152 => x = 15 => y2 = 9.81 = 272 => y = 27 Do x, y cùng dấu nên: x = 15; y = 27 và x = - 15; y = - 27 1 + 5 y 1 + 7 y 1 + 9 y (2điểm) b ) 2 4 7 x 2 x Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 1+5y 1+7y 1+9y 1 9y 1 7y 2y 1 7y 1 5y 2y 24 7x 2x 2x 7x 5x 7x 24 7x 24 2y 2y => => - 5x = 7x – 24 => x = 2 5x 7x 24 Thay x = 2 vào trên ta được: 1 5y y 5 => - 5 - 25y = 24 y => - 49y = 5 => y = 24 5 49 5 Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài 49 Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau: a) (2điểm) A = x 5 + 5 Ta có : x 5 0. Dấu “=” xẩy ra x = - 5. A 5. Vậy: Min A = 5 x = - 5. Trang 6
7. x 2 17 x 2 7 10 10 b) (2điểm) B = = = 1 + x 2 7 x 2 7 x 2 7 Ta có: x 2 0. Dấu = xảy ra x = 0 x 2 + 7 7 (2 vế dương) 10 10 10 10 17 => 1 + 1 + B x 2 7 7 x 2 7 7 7 Dấu “=” xảy ra x = 0 17 Vậy: Max B = x = 0. 7 Câu 5. a) (3điểm) Từ I kẻ đường thẳng // BC cắt AB tại H. Nối MH. Ta có: BHM = IMH vì: A B· HM I·MH (so le trong) B· MH I·HM (so le trong) Cạnh HM chung =>BM = IH = MN H I AHI = IMN vì: IH = MN (kết quả trên) A· HI I·MN ( A· BC) B M N C A· IH I·NM (đồng vị) => AI = IN (đpcm) b) (2điểm) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại P. PKA = FKB vì: · · PKA FKB (đối đỉnh) E A· PK B· FK (so le trong) AK = KB (gt) P A => AP = BF (1) K E· PA K· FC (đồng vị) C· EF K· FC ( CFE cân) => E· PA C· EF => APE cân B F C => AP = AF (2). Từ (1) và (2) => AE = BF (đpcm) Trang 7
8. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HẬU LỘC Năm học: 2013-2014 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC Lớp 7 THCS Ngày thi: 07 tháng 4 năm 2014 Số báo danh Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) ............... Đề này có 01 trang . Câu 1(5 ........................điểm): a) Cho biểu thức: P = x - 4xy + y. Tính giá trị của P với x 1,5; y = -0,75 212.35 46.81 b) Rút gọn biểu thức: A 6 22.3 84.35 Câu 2 (4điểm): a) Tìm x, y, z, biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y + z = 11 b) Tìm x, biết: x 1 x 2 x 3 4x Câu 3(3 điểm). Cho hàm số: y = f(x) = -4x3 + x a) Tính f(0), f(-0,5) b) Chứng minh: f(-a) = -f(a). Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên (x;y) biết: x + y = x.y Câu 5(6 điểm):Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. a) Chứng minh rằng: AMC = ABN; b) Chứng minh: BN  CM; c) Kẻ AH  BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: 0 a b 1 c 2 và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c. Hết Chú ý: - Giám thị không giải thích gì thêm. - Học sinh không được dùng máy tính. Trang 8
9. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO HUYỆN HẬU LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 NĂM HỌC 2013-2014 Câu Nội dung Điểm a) Ta có: x 1,5 x 1,5 hoặc x = -1,5 +) Với x = 1,5 và y = -0,75 thì 1,5 P = 1,5 -4.1,5(-0,75) -0,75 = 1,5(1 + 3) = 6 -0,75 = 5,25 1,5 Câu 1 +) Với x = -1,5 và y = - 0,75 thì (5điểm) P = -1,5 -4(-1,5).(-0,75) - 0,75 = -1,5(1+3) - 0,75 = -6,75 212.35 46.81 212.35 212.34 212.34 (3 1) 1 b) A = 2 6 4 5 12 6 12 5 12 5 2 2 .3 8 .3 2 .3 2 .3 2 .3 (3 1) 3 x y y z x y y z 1 a) 2x = 3y; 4y = 5z ; ; 3 2 5 4 15 10 10 8 x y z x y z 11 1 15 10 8 15 10 8 33 3 10 8 1 x = 5; y = ; z = Câu 2 3 3 (4 điểm) b) x 1 x 2 x 3 4x (1) Vì VT 0 4x 0 hay x 0, do đó: 1 x 1 x 1; x 2 x 2; x 3 x 3 1 (1) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x x = 6 a) f(0) = 0 1 1 1 1 1 1 f(-0,5) = -4.(- )3 - = 0 2 2 2 2 Câu 3 (3điểm) b) f(-a) = -4(-a)3 - a = 4a3 - a 0,5 3 3 - f(a) = - 4a a = 4a - a 0,5 f(-a) = -f(a) Trang 9
10. Câu 4 y x + y = x.y xy x y x(y 1) y x (1 điểm) y 1 vì x z y y 1 y 1 1 y 1 1 y 1 , 0,5 do đó y - 1 = 1 y 2 hoặc y = 0 Nếu y = 2 thì x = 2 Nếu y = 0 thì x = 0 Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2) 0,5 Câu 5 a) Xét AMC và F N (6 điểm) ABN, có: D AM = AB ( AMB M 1,0 vuông cân) E AC = AN ( ACN 1,0 vuông cân) A   MAC = NAC ( I = 900 +  BAC) 0,5 Suy ra AMC = K ABN (c - g - c) B H C b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC. Xét KIC và AIN, có:  ANI =  KCI ( AMC = ABN)  AIN =  KIC (đối đỉnh) 1  IKC =  NAI = 900, do đó: MC  BN 1 0,5 c) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH. - Ta có:  BAH +  MAE = 900(vì  MAB = 900) Lại có  MAE +  AME = 900, nên  AME =  BAH Xét MAE và ABH , vuông tại E và H, có:  AME =  BAH (chứng minh trên) MA = AB Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn) ME = AH 0,25 - Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA FN = AH 0,25 Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có: ME = NF (= AH)  EMD =  FND(phụ với  MDE và  FDN, mà  MDE 0,25 =  FDN) Trang 10
11. MED = NFD BD = ND. 0,25 Vậy AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 Vì: 0 a b 1 c 2 nên 0 a b 1 c 2 c 2 c 2 c 2 (1 điểm) 0 4 3c 6 (vì a + b + c = 1) 2 0,5 Hay 3c 2 c . 3 2 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: - khi đó a + b = 3 3 0,5 Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình. PHÒNG GD-ĐT HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7 Đề chính thức NĂM HỌC 2009 – 2010 Gồm 01 trang Môn thi: Toán 7 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4đ): a) Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 A = + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 b) Tính: 1 24 + 8 [(-2)2 : ]0 – 2-2.4 + (-2)2 2 Câu 2 (4đ): Hai lớp 7A và 7B đi lao động trồng cây. Biết rằng tỉ số giữa số cây trồng được của lớp 7A và 7B là 0,8. Lớp 7B trồng nhiều hơn lớp 7A là 20 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được? Câu 3 (4đ): Tìm x biết: 1 3 a) - x : = 2 2 5 1 x b) 2 2 = 8 Câu 4 (4đ): Ba đội máy ủi đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai hoàn thành trong 6 ngày, đội thứ ba hoàn thành trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy (cùng công suất), biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai 2 máy. Câu 5 (4đ): Trang 11
12. Cho góc x· Oy . Trên Ox lấy hai điểm A và B, trên Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, AB = CD. Chứng minh: a) ABC = ACD b) ABD = BCD - - - - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - - - - HƯỚNG DẪN CHẤM-HÒA BÌNH Câu 1 (4đ): a) Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 A = + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: = - ; = - ; ; = - (1đ) 1.2 1 2 2.3 2 3 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 A = 1 + ( - ) + ( - ) + + ( - ) - = 1 - = (1đ) 2 2 3 3 99 99 100 100 100 b) Tính: 1 24 + 8 [(-2)2 : ]0 – 2-2.4 + (-2)2 = 16 + 8.1 - 2-2.22 + 4 (1đ) 2 = 16 + 8 -20 + 4 = 16 + 8 – 1 + 4 = 27 (1đ) Câu 2 (4đ): Gọi x, y theo thứ tự là số cây trồng được của lớp 7A, 7B. Ta có: x x 8 4 y – x = 20 và = 0,8 = = (1) (1đ) y y 10 5 x y y x 20 Từ (1) ta có tỉ lệ thức: = = = = 20 (2) (1đ) 4 5 5 4 1 x Từ (2) ta có: = 20 x = 80 cây (lớp 7A) (1đ) 4 y = 20 y = 100 cây (lớp 7B) (1đ) 5 Câu 3 (4đ): 1 3 a) - x : = 2 2 5 3 1 x : = - 2 (0,5đ) 5 2 3 3 x : = (0,5đ) 5 2 3 3 x = . (0,5đ) 2 5 Trang 12
13. 9 x = (0,5đ) 10 1 x b) 2 2 = 8 1 x 2 2 = 23 (0,5đ) 1 x + = 3 (0,5đ) 2 1 x = 3 - (0,5đ) 2 5 x = (0,5đ) 2 Câu 4 (4đ): Gọi x, y, z theo thứ tự là số máy ủi của đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba Do các máy có cùng công suất, khối lượng công việc của ba đội như nhau Số máy và thời gian hoàn thành công việc là tỉ lệ nghịch với nhau (1đ) x y z Ta có: = = và x – y = 2 (1đ) 1 1 1 4 6 8 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y 2 = = 24 (1đ) 1 1 1 4 6 12 x Từ đó: = 24 x = 6 (số máy của đội thứ nhất) 1 4 y = 24 y = 4 (số máy của đội thứ hai) 1 6 z = 24 z = 3 (số máy của đội thứ ba) (1đ) 1 8 Câu 5 (4đ): Già thiết: góc x· Oy ; OA=OC, AB=CD x B Kết luận: a) ABC = ACD b) ABD = BCD (Hình vẽ và GT, KL 0,5đ) A Xét OAD và OCB có: µ - Góc O chung O - OA = OC (gt) C D - OB = OD y Do đó: OAD = OCB (c-g-c) AD = BC (1,5đ) a) Xét ABC và ACD có Trang 13
14. - AB = CD (gt) - AC chung - AD = BC Do đó: ABC = ACD (1đ) b) Xét ABD và BCD có - AB = CD (gt) - BD chung - AD = BC Do đó: ABD = BCD (1đ) Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa của câu đó - - - - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - - - - phßng gi¸o dôc ®µo t¹o kú thi chän häc sinh giái huyÖn h­¬ng khª N¨m häc 2011 - 2012 M«n to¸n LíP 7 Khóa ngày 17.18.19 – 4 – 2012 ®Ò chÝnh thøc Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: 2 1) Tìm x, biết x 1 ; 3 2 2x 3x 1 2 2) Tính giá trị của biểu thức sau: A với x 1 3x 2 3 Bài 2: 1) Tìm chữ số tận cùng của A biết A = 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n x 3 2) Tìm các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên. x 2 Bài 3: Cho đa thức f(x) xác định với mọi x thỏa mãn: x.f(x + 2) = (x2 – 9).f(x). 1) Tính f(5). 2) Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 3 nghiệm. Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng: a) FB = EC b) EF = 2AM Trang 14
15. c) AM  EF. Bài 5: Cho a, b, c, d là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x a x b x c x d HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN TOÁN LỚP 7 Khóa ngày 17.18.19 – 4 – 2012 Bài Hướng dẫn chấm Điểm 2 5 x 1 x 2 3 3 1) Ta có x 1 3 2 1 4.0đ 1(6đ) x 1 x 3 3 2) Từ câu 1) Với x = 5/3 thay vào A ta được A = 14/27 2.0đ Với x = 1/3 thay vào A ta được A = -2/9 1) Chứng minh A chia hết cho 10 suy ra chữ số tận cùng của A là 0 1.5đ 2 2) Ta có: x 3 x 2 5 5 (3đ) 1 Z x 2 U (5) 1; 5 1.5đ x 2 x 2 x 2 x 1;3; 3;7 1) Ta có với x = 3 f(5) = 0 2.0đ 2) x = 0 f(0) = 0 x = 0 là một nghiệm 3(4đ) x = 3 f(5) = 0 x = 5 là một nghiệm 2.0đ x = -3 f(-1) = 0 x = -1 là một nghiệm Vậy f(x) có ít nhất là 3 nghiệm. a) Chứng minh ABF AEC(cgc) FB EC 3.0đ 4 b) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho AK = (6đ) A 2AM. Ta có ABM = KCM CK//AB 1.5đ 0 ·ACK C· AB E· AF C· AB 180 ·ACK E· AF E I Trang 15 F C B M K
16. EAF và KCA có AE = AB = CK; AF = AC (gt); ·ACK E· AF EAF = KCA (cgc) EF = AK = 2AM. c) Từ EAF = KCA 1.5đ C· AK ·AFE ·AFE F· AK C· AK F· AK 900 AK  EF Không mất tính tổng quát, giả sử a b c d. Áp dụng BĐT a b a b , dấu bằng xảy ra ab ≥ 0 ta có: x a x d x a d x x a d x d a (1) 1.0đ 5(1đ) x b x c x b c x x b c x c b (2) Suy ra A ≥ c + d – a – b. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra (x – a)(d – x) ≥ 0 và (x – b)(c – x) ≥ 0 a x d và b x c. Do đó minA = c + d –a – b b x c. Ghi chú: Các cách giải khác đầy đủ và chính xác vẫn cho điểm tối đa. UBND HUYỆN KIM SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: ( 2,0 điểm) 4 x 4 a. Tìm x, y biết: = và x + y = 22 7 y 7 x y y z 2x 3y 4z b. Cho và . Tính M = 3 4 5 6 3x 4y 5z Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: a. S = 22010 22009 22008... 2 1 1 1 1 1 b. P = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) ... (1 2 3 ... 16) 2 3 4 16 Bài 3: ( 2,0 điểm) Tìm x biết: 1 2 3 4 5 30 31 a. . . . . ... . 2 x 4 6 8 10 12 62 64 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b. . 2 x 35 35 35 25 25 Trang 16
17. Bài 4: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB. b. Chứng minh DH = DC = DA. c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân. d. Chứng minh AE = HC. UBND HUYỆN KIM SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2,0 điểm) 28 7x = 28 4y 0,25 x y x y 0,25 4 7 4 7 x y 22 2 x 8; y 14 0,25 4 7 11 x y x y y z y z x y z ; (1) 0,25 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 2x 3y 4z 2x 3y 4z (1) 0,25 30 60 96 30 60 96 3x 4y 5z 3x 4y 5z (1) 0,25 45 80 120 45 80 120 Trang 17
18. 2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x : = : 0,25 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 . 1 M 0,25 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: 2S = 22011 22010 22009... 22 2 0,25 2S-S = 22011 22010 22010. 22009 22009.. 22 22 2 2 1 0,25 S = 22011 2.22010 1 0,25 S 22011 22011 1 1 0,25 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 P = 1 . . ... 0,25 2 2 3 2 4 2 16 2 2 3 4 5 17 . ... 0,25 2 2 2 2 2 1 1 2 3 ... 17 1 0,25 2 1 17.18 1 76 0,25 2 2 Bài 3: ( 2,0 điểm) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... . 2 x 0,25 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 1.2.3.4...30.31 2 x 0,25 1.2.3.4...30.31.230.26 1 2 x 0,25 236 x 36 0,25 4.45 6.65 . 2 x 0,25 3.35 2.25 46 66 . 2 x 0,25 36 26 6 6 6 4 . 2 x 0,25 3 2 212 2 x x 12 0,25 Bài 4: ( 4,0 điểm) Câu a: 0,75 điểm Hình vẽ: 0,25 Trang 18 A 1 D B 2 1 H B’ C E
19. BEH cân tại B nên E = H1 0,25 ABC = E + H1 = 2 E 0,25 ABC = 2 C BEH = ACB Câu b: 1,25 điểm Chứng tỏ được DHC cân tại D nên 0,50 DC = DH. DAH có: 0,25 DAH = 900 - C 0 0 0,25 DHA = 90 - H2 =90 - C DAH cân tại D nên DA = DH. 0,25 Câu c: 1,0 điểm 0,25 ABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C 0,50 B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,25 C = A1 AB’C cân tại B’ Câu d: 1,0 điểm AB = AB’ = CB’ 0,25 BE = BH = B’H 0,25 Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H 0,50 AE = HC UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) 4 x 4 a. Tìm x, y biết: = và x + y = 22 7 y 7 x y y z 2x 3y 4z b. Cho và . Tính M = 3 4 5 6 3x 4y 5z Bài 2: (2,0 điểm) Thực hiện tính: Trang 19
20. a. S = 22010 22009 22008... 2 1 1 1 1 1 b. P = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) ... (1 2 3 ... 16) 2 3 4 16 Bài 3: (2,0 điểm) Tìm x biết: 1 2 3 4 5 30 31 a. . . . . ... . 2 x 4 6 8 10 12 62 64 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b. . 2 x 35 35 35 25 25 Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB. b. Chứng minh DH = DC = DA. c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân. d. Chứng minh AE = HC. UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) 28 7x = 28 4y 0,25 x y x y 0,25 4 7 4 7 Trang 20