20 Đề thi HSG cấp huyện môn Toán 7 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: 20 Đề thi HSG cấp huyện môn Toán 7 (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 1 x 1 Bµi 1 : Cho biÓu thøc A = . x 1 16 25 a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = vµ x = . 9 9 b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5. Bµi 2 : T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l­ît ®é dµi tõng hai ®­êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ :5 : 7 : 8. a c Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức . b d Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c. Chứng minh: HMN cân. Câu 5. (1,0 điểm) a b c a. Cho ba số dương 0 a b c 1 chứng minh rằng: 2 bc 1 ac 1 ab 1 b. Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. 14 x Câu 6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = ;x Z . Khi ®ã x nhËn gi¸ trÞ nguyªn 4 x nµo? PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1
2. Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). Giải: 3 2 5 9 a. : . 4 3 9 4 3 2 5 9 3 1 9 0,75đ : : 4 3 9 4 4 9 4 3 9 9 36 0,75đ = . 9 4 1 4 4 1 1 1 45 1 1 1 b. 19 2 3 4 1 1 1 45 1 1 1 45 1 1 1 19 2 3 4 19 1,0đ 1 2 4 3 45 26 19 = 1 1,0đ 19 19 19 5.415.99 4.320.89 c. 5.210.619 7.229.276 5.415.99 4.320.89 5.22.15.32.9 22.320.23.9 = 01đ 5.210.619 7.229.276 5.210.219.319 7.229.33.6 229.318 5.2 32 01đ 229.318 5.3 7 10 9 1 = 0,5đ 15 7 8 Bài 2: (6 điểm) Giải: a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16. 2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16 0,25đ -12x – 20 = 16 0,25đ -12x = 16 + 20 = 36 0,50đ x = 36 : (-12) = -3 0,50đ 1 21 b. Tìm x, biết: 3 : 2x 1 = 2 22 1 Nếu x . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0) 0,25đ 2 1 21 3 : 2x 1 = 2 22 7 21 : (2x – 1) = 0,25đ 2 22
3. 7 21 7 22 11 2x – 1 = : = . 0,25đ 2 22 2 21 3 11 14 2x = + 1 = 0,25đ 3 3 14 7 1 x = : 2 = > 0,25đ 3 3 2 1 Nếu x . Ta có: 0,25đ 2 1 21 3 : 2x 1 = 2 22 7 21 : (1 - 2x) = 0,25đ 2 22 11 8 -2x = - 1 = 0,25đ 3 3 8 4 1 x = : (-2) = 0,25đ 3 3 2 7 4 Vậy x = hoặc x = 0,25đ 3 3 2x y 3y 2z c. Tìm x, y, z biết : và x + z = 2y 5 15 Từ x + z = 2y ta có: x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0 0,25đ hay 2x – y = 3y – 2z 0,25đ 2x y 3y 2z Vậy nếu: thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 15). 0,25đ 5 15 1 Từ 2x – y = 0 suy ra: x = y 0,25đ 2 1 Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y. x + z + y – 2z = 0 hay y + y – z = 0 0,25đ 2 3 2 1 hay y - z = 0 hay y = z. suy ra: x = z. 0,25đ 2 3 3 1 2 Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = z; y = z ; với z R } 3 3 0,5đ 1 3 hoặc {x = y; y R; z = y} hoặc {x R; y = 2x; z = 3x} 2 2 a c Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức . b d Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) Ta có: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
4. ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd 0,75đ a c cb = ad suy ra: 0,75đ b d Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c. Chứng minh: HMN cân. Giải: B D K M N A C H a/ Chứng minh CD song song với AB. Xét 2 tam giác: ABK và DCK có: 0,25đ BK = CK (gt) BKˆ A CKˆ D (đối đỉnh) 0,25đ AK = DK (gt) 0,25đ ABK = DCK (c-g-c) 0,25đ DCˆ K DBˆ K ; mà ABˆ C ACˆ B 900 ACˆ D ACˆ B BCˆ D 900 0,25đ ACˆ D 900 BAˆ C AB // CD (AB  AC và CD  AC). 0,25đ b. Chứng minh rằng: ABH = CDH Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: 0,25đ BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt) 0,25đ ABH = CDH (c-g-c) 0,50đ c. Chứng minh: HMN cân. Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có: 0,25đ AB = CD; ACˆ D 900 BAˆ C ; AC cạnh chung: ABC = CDA (c-g-c) ACˆ B CAˆ D 0,25đ mà: AH = CH (gt) và MHˆ A NHˆ C (vì ABH = CDH) 0,50đ AMH = CNH (g-c-g) 0,50đ
5. MH = NH. Vậy HMN cân tại H 0,50đ Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. Giải: Ta có: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c 0,25đ = a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) 0,50đ = (103 + 1)( a.102 + b.10 + c) 0,50đ = (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) 0,25đ = 11.91( a.102 + b.10 + c)  11 0,25đ Vậy abcabc  11 0,25đ Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 2 Bài 1: (6,0 điểm). Tính: 1 1 1 a) A = 4.( )3 - 2.( )2 + 3.( ) + 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 b) B : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : ... : 1 . 2 2 3 4 5 6 100 4 6 .9 5 6 9 .120 c) C = 8 4 .3 12 6 11 Bài 2: (4,0 điểm). x y a) Tìm x,y Biết = và x.y = 112 4 7 b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là các số khác 0 thoả mãn: ab ac bc ba ca cb a b c thì 2 3 4 3 5 15 Bài 3: (4,0 điểm). a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2013 x 2014 x . b) Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 36 và các chữ số của nó tỷ lệ với 1 ; 2 ; 3.
6. Bài 4: (4,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A ( Bµ Cµ 400 ). Kẻ phân giác BD ( D AC ). Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = BC. a) Chứng minh BD + AD = BC b) Tính ·AMC Bài 5: (2,0 điểm). Tìm các số a,b,c nguyên dương thoả mãn a 3 +3a 2 +5 = 5b và a + 3 = 5c ------------------------------- Họ và tên thí sinh:.............................................Số báo danh: ................................ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 2 Bài Phương pháp-Kết quả Điểm Bài 1 1 1 1 a) A = 4.( )3 - 2.( )2 + 3.( ) + 1 ( 6 điểm) 2 2 2 1 1 3 = 4.( ) - 2. +1 8 4 2 0.5 đ 1 1 3 = - +1 2 2 2 0.5 đ 3 = - 2 3 Vậy A = - 0.5 đ 2 0.5 đ b) 1 1 1 1 1 1 1 B : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : ... : 1 2 2 3 4 5 6 100 1 3 4 5 6 7 101 0.5đ : : : : : : ... : 2 2 3 4 5 6 100 1 2 3 4 5 6 100 (có 50 thừa số âm ) . . . . . ..... 2 3 4 5 6 7 101 0.5đ 1.2.3.4.5.6..... 100 1 . 0.5 đ 2.3.4.5.6.7..... 101 101 0.5 đ
7. Vậy 1 B 101 c) C = 6 5 9 4 .9 6 .120 4 12 11 8 .3 6 0,5đ 6 5 = 2 2 . 3 2 2 9 .3 9 .2 3 .3 .5 4 2 3 .3 12 2 11 .3 11 0,5 đ 212.310 212.310.5 = 212.312 211.311 212.310 1 5 0,5 đ 211.311 1 2.3 2.6 4 4 3. 5 5 5 0,5 đ Bài 2 x y x 2 x.y 122 a) Ta có = = = (4 điểm) 4 7 16 4.7 28 16.112 0.5 đ x2 = = 64 28 x = 8 hoặc x = -8 0.5 đ 8 y Nếu x = 8 = y = 14 4 7 0.5 đ 8 y Nếu x = - 8 = y = - 14 4 7 0.5 đ b) Ta có: ab ac bc ba ca cb 2 3 4 ab ac bc ba ca cb 2 3 4 2 ( ab bc ca ) 9 0.5 đ ab bc ca 4 ,5 ab bc ca ab ac bc 4 ,5 2 2 ,5 ab bc ca bc ba ca 4 ,5 3 1,5 0.5 đ ab bc ca ca cb ab 4 ,5 4 0 ,5 ab ac bc Do đó: 0.5 đ 0 ,5 1,5 2 ,5 1,5 ab 0 ,5 ac 3 b c ( a , b , c 0 ) 1,5 bc 2 ,5 ac 5 a 3 b 0.5 đ a b c 5 a 3 b c . 3 5 15
8. Bài 3 a) Áp dụng BĐT a b a b (4 điểm) Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng dấu (HS không làm phần này vẫn cho điểm tối đa) 0.5 đ Ta có P = 2013 x 2014 x = x 2013 2014 x P x 2013 2014 x 1 1 0.5 đ Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi (x-2013) và (2014-x) cùng dấu 0.5 đ Hay 2013 x 2014 0.5 đ Vậy minP = 1 khi và chỉ khi 2013 x 2014 b) Gọi ba chữ số của số phải tìm là a, b,c ta có : a b c áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được 1 2 3 0.5 đ a b c a b c = (*) 1 2 3 6 Do số phải tìm chia hết cho 36 nên số đó chia hết cho 9 suy ra a+b+c chia hết cho 9 0.5 đ Mà a, b, c là các chữ số có ít nhất một chữ số khác 0 nên a+b +c chỉ có thể nhận một trong ba giá trị : 9; 18;27 a b c a b c Nếu a+b +c = 9 Từ (*) ta có = => a= 9/6 (không 1 2 3 6 thoả mãn vì a là chữ số) Nếu a+b +c = 18 kết hợp (*) ta có a =3 ; b = 6; c = 9 vì số phải tìm chia hết cho 36 nên chữ số hàng đơn vị chẵn ta có số 396; hoặc 936 0.5 đ Nếu a +b + c = 27 từ (*) => a=27/6 (loại) Thử lại ta thấy cả hai số 396 và 936 đều thoả mãn 0.5 đ Vậy số phải tìm là 936 và 396 . Bài 4 A (4 điểm) E D B F C M N a) Từ D kẻ DE//BC, trên BC lấy điểm F sao cho BD = BF (1) Chứng minh được DE = BE (tam giác BED cân) 0.5 đ Do tam giác AED cân nên AD =AE suy ra BE = CD 0.5 đ Vậy DE = CD
9. Tam giác BDF cân có D· BF 200 nên B· FD 800 D· FC 1000 0.5 đ suy ra D· FC E· AD 1000 Vậy tam giác DFC có F· DC 400 Chứng minh được ADE FCD (g.c.g) AD CF (2) 0.5 đ Từ (1) và (2) suy ra đpcm. b) Dựng tam giác đều AMN sao cho N và C ở cùng một phía so 0.5 đ với AB. Vì AC chung;BC AN( AM ); ·ACB C· AN 400 0.5 đ BAC NCA Suy ra AC = CN = AB vậy MC là trung trực của AN 0.5 đ 1 0.5 đ Nên ·AMC ·AMN 300 2 Bài 5 Do a Z + => 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c (2 điểm) => 5b > 5c => b>c 0.5 đ => 5b  5c => (a3 + 3a2 + 5)  ( a+3) => a2 (a+3) + 5  a + 3 0.5 đ Mà a2 (a+3)  a + 3 [do (a+3)  (a+3)] => 5  a + 3 => a + 3 Ư (5) 0.5 đ => a+ 3 { 1 ; 5 } (1) Do a Z+ => a + 3 4 (2) Từ (1) và (2) => a + 3 = 5 => a = 5 – 3 =2 0.5 đ => 23 + 3 . 22 + 5 = 55 25 = 5b 52 = 5b b = 2 2 + 3 = 5c 5 = 5c 5 = 5c c = 1 Vậy : a = 2 b = 2 c = 1 Ghi chú: Đáp án chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi
10. bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai không chấm điểm. Nếu HS giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 3 Câu 1.(4 điểm) 212.35 46.92 510.73 255.492 a) Thực hiện phép tính: A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Tính S 2100 299 298 .... 22 2 1 2 3 2019 c) Chứng tỏ: ... 0,75 3 32 33 32019 Câu 2.(4 điểm) a b c b c a c a b a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn : và a+b+c 0 c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức:.B 1 1 1 a c b b)Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5,6,7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. 2017x 2018y 2019z d) Cho ba số x,y, z tỉ lệ với 3,4,5. Tính P 2017x 2018y 2019z Câu 3:(4 điểm) 5z 6y 6x 4z 4y 5x a) Tìm x, y, z biết: và 3x – 2y + 5z = 96. 4 5 6 b) Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + + 3x+100 chia hết cho 120 (với x N) Câu 4.(6 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P,Q là trung điểm của AD, BC, và I là giao điểm các đường vuông góc với AD và BC tại P và Q. a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. 1 c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE AD. 2
11. Câu 5.(2 điểm) Cho biết xyz=1 x y z Tính giá trị A = xy x 1 yz y 1 xz z 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 3 Câu Phần Nội dung Điểm a 212.35 46.92 510.73 255.492 2đ A 6 3 9 3 Câu 1 22.3 84.35 125.7 5 .14 (4 điểm) 10 212.35 212.34 510.73 5 .74 212.36 212.35 59.73 59.23.73 0,5 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 1 10 7 1 212.35.4 59.73.9 6 3 2 b S =(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+...+ (-3)2015. 0.5 2đ -3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + ....+(-3)2015] = (-3)1+ (-3)2+ ....+(-3)2016] 0.5 1 2 2016 0 1 2015 -3S – S = [(-3) + (-3) +...+(-3) ]-(3) -(-3) -...-(-3) . 0.5 -4S = (-3)2016 -1. ( 3)2016 1 32016 1 1 32016 0.5 S = = 4 4 4 +Vì a+b+c 0 a Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: 2đ a b c b c a c a b a b c b c a c a b = = 1 c a b a b c 0.5 a b c b c a c a b Câu 2 mà 1 1 1 = 2 0.5 c a b ( 4 điểm ) a b b c c a => =2 0.5 c a b b a c b a c a b c 0.5 Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =8 a c b a c b
12. b Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 2đ 0) Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c 1 a b c a b c x 5x 6x x 7 x Ta có: a ;b ; c 5 6 7 18 18 18 18 3 18 (1) Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: a , b, c, a , b, c, x 4x 5x x 6x a , ;b, ;c, 0,5 4 5 6 15 15 15 15 3 15 (2) So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu 0.5 6x 7 x x Vây: c’ – c = 4 hay 4 4 x 360 15 18 90 Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói. 5z 6y 6x 4z 4y 5x Từ a 4 5 6 2đ 20z 24y 30x 20z 24y 30x => 0.5 Câu 3 16 25 36 (4 điểm) =>10z = 12y = 15x 0.5 x y z 3x 2y 5z 0.5 => => và 3x – 2y + 5z = 96 4 5 6 12 10 30 0.5 Giải ra ta được x = 12; y = 15; z = 18 b 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + + 3x+100 2đ = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+ + (3x+97 + 1 3x+98 + 3x+99 + 3x+100) = 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) + +3x+96(3+32+33+34) 0.5 = 3x.120 + 3x+4.120 + +3x+96.120 0.5 = 120(3x + 3x+4 + +3x+96)120 (đpcm) A P B C 0,5 E Câu 4 D (6 điểm ) I a Ta có IB = IC, IA = ID 1 2đ Lại có AB = CD (gt) 0,5 Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) 0,5 b CM:  DAI =  D 0,5 1,5đ ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra  BAI =  D 0,5
13. Do đó  DAI =  BAI. 0,5 Vậy AI là tia phân giác của góc BAC c Kẻ IE AB, ta có ∆AIE = ∆AIP 0,5 => AE = AP 0,5 2đ Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD) 0,5 1 0,5 Suy ra AE AD 2 Câu 5 x y z ( 2 điểm ) xy x 1 yz y 1 xz z 1 1 xz xyz z = xyz xz z xyz2 xyz xz xz z 1 1 x z x y z z x y z x z 1 1 1 x z z z 1 x z x z z 1 x y z x z 1 Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 4 Bài 1. (4,0 điểm) 1 2 3 4 99 100 Cho biểu thức : C ..... 3 32 33 34 399 3100 3 Chứng minh rằng : C < 16 Bài 2. (5,0 điểm) Câu 1: Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z - 38 a 2 + b2 ab Câu 2: Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ - d c2 + d2 cd a c a d Chứng minh rằng : = hoặc = b d b c Bài 3. (3,0 điểm) Câu 1 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 27 - 2x Câu 2 : Cho Q = . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ? 12 - x Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau 2 2 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24 Bài 5. (5,0 điểm). Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE = AC. 1) Chứng minh rằng BE = CD . 2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh MA  BC
14. 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ? ----- Hết ----- PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 4 1 2 3 4 99 100 Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức : C ..... 3 32 33 34 399 3100 3 Chứng minh rằng : C < 16 Đáp án Điểm 1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100 Biến đổi: 3C 3. 2 3 4 ..... 99 100 1 2 3 ..... 98 99 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0,25 Ta có 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 3C C 1 2 3 ..... 98 99 2 3 4 ..... 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 4C 1 .... ..... 3 32 33 398 399 3 32 33 34 399 3100 0,25 2 1 3 2 4 3 100 99 100 0,25 4C 1 2 2 3 3 .... 99 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 100 0,25 4C 1 .... 3 32 33 399 3100 1 1 1 1 Đặt D 1 .... 3 32 33 399 1 1 1 1 1 1 1 0,25 Ta có: 3D 3. 1 2 3 .... 99 3 1 2 .... 98 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó: 3D D 3 1 2 .... 98 1 2 3 .... 99 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 4D 3 1 .... 1 .... 3 32 398 3 32 33 399 0,25 1 1 1 1 1 1 1 4D 3 1 1 2 2 ... 98 98 99 3 3 3 3 3 3 3 0,25 1 4D 3 399 0,25 1 1 Suy ra D = . 3 - 99 4 3 0,25 3 1 D = - 4 4.399 0,25
15. 3 1 100 Nên ta có 4C 99 100 4 4.3 3 0,25 3 1 100 4C 4 4.399 3100 0,25 1 3 1 100 C . 99 100 4 4 4.3 3 0,25 3 1 25 C 16 42.399 3100 0,25 3 1 25 C - 2 99 + 100 16 4 .3 3 0,25 1 25 3 1 25 3 3 Ta có 2 99 100 > 0 nên 2 99 100 < . Vậy C < 0,25 4 .3 3 16 4 .3 3 16 16 Bài 2. (5,0 điểm) Câu 1: (2,5 điểm) Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z – 38 Đáp án Điểm Ta có : 2x + y = z – 38 nên 2x + y – z = – 38 0,25 + Vì 3x = 4y = 5z – 3x – 4y nên 3x = 5z – 3x – 3x 0,25 3x = 5z – 6x 9x = 5z x z x z = = (1) 0,25 5 9 20 36 x y x y + Vì 3x = 4y = = (2) 0,25 4 3 20 15 x y z Từ (1) và (2) suy ra = 0,25 20 15 36 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : x y z 2x + y - z -38 0,25 = = = - 2 20 15 36 2.20 + 15 - 36 19 x Do đó : = - 2 x = (-2) . 20 = - 40 0,25 20 y = - 2 y = (-2) . 15 = - 30 0,25 15 z = - 2 z = (-2) . 36 = - 72 0,25 36 Vậy x = -40 ; y = -30 ; z = - 72 0,25 Câu 2: (2,5 điểm) a 2 b 2 ab a c a d Cho với a, b, c, d 0; c - d . Chứng minh rằng hoặc c 2 d 2 cd b d b c
16. Đáp án Điểm a 2 + b2 ab a 2 + b2 2ab Ta có: = nên = c2 + d2 cd c2 + d2 2cd Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 0,25 a 2 + b2 2ab a 2 + b2 + 2ab a 2 + b2 - 2ab = = c2 + d2 2cd c2 + d2 + 2cd c2 + d2 - 2cd a 2 + ab + b2 + ab a 2 - ab + b2 - ab a + b 2 a - b 2 = = 0,25 c2 + cd + d2 + cd c2 - cd + d2 - cd c + d 2 c - d 2 2 2 a + b a - b a + b a - b a + b b - a Suy ra hoặc 0,25 c + d c - d c + d c - d c + d c - d a + b a - b + Với thì a + b . c - d = a - b . c + d 0,25 c + d c - d ac - ad +bc – bd = ac + ad –bc - bd 0,25 a c ad = bc = 0,25 b d a + b b - a + Với thì a + b . c - d = b - a . c + d 0,25 c + d c - d ac - ad +bc – bd = bc + bd –ac - ad 0,25 a d ac = bd = 0,25 b c a 2 + b2 ab a c a d Vậy nếu = với a, b, c, d 0; c - d thì = hoặc = 0,25 c2 + d2 cd b d b c Bài 3. (3,0 điểm) Câu 1: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 Đáp án Điểm Với mọi n nguyên dương, ta có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n = 4n .(43 + 42 - 4 - 1) 0,25 = 4n .(64 + 16 - 4 - 1) = 4n .75 0,25 = 4n - 1. 4 . 75 = 300 . 4n - 1 0,25 Mà 300 . 4n - 1 chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương ) 0,25 Nên 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương ) 27 - 2x Câu 2: (2,0 điểm) Cho Q = . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ? 12 - x Đáp án Điểm Điều kiện : x Z ; x ≠ 12 0,25
17. 27 - 2x 2.(12 - x) + 3 3 Biến đổi Q = = = 2 + 12 - x 12 - x 12 - x Ta có 2 Z ; x Z ; x ≠ 12 3 nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi có giá trị nguyên 0,25 12 x 3 Mà có giá trị nguyên khi và chỉ khi 12 x Ư(3) 12 x 0,25 Ư(3) = -3; -1; 1; 3 + Nếu 12 - x = - 3 thì x = 15 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = -1 thì x = 13 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = 1 thì x = 11 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = 3 thì x = 9 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 9; 11; 13; 15 0,25 Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : 2 2 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24 . Đáp án Điểm Ta có H = 3x - 2y 2 - 4y - 6x 2 - xy - 24 2 2 2 2 = 3x - 2y - 4. 2y - 3x - xy - 24 3x - 2y - 4. 3x - 2y - xy - 24 0,25 2 = - 3. 3x - 2y 2 - xy - 24 = - 3. 3x - 2y + xy - 24 Ta có 3. 3x - 2y 2 0 với mọi giá trị của x, y 0,25 xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y 2 Do đó 3. 3x - 2y + xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y 0,25 Nên - 3. 3x - 2y 2 + xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y 0,25 Hay H ≤ 0 với mọi giá trị của x, y Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi 3x - 2y 0 0,25 và xy - 24 0 (1) x y + Với 3x - 2y = 0 thì 3x = 2y = 0,25 2 3 x y 0,25 Đặt = = k . Khi đó x = 2k ; y = 3k 2 3 Thay x = 2k và y = 3k vào (1) ta được 2k . 3k - 24 = 0 0,25 6k2 = 24 k2 = 4 k = 2 hoặc k = -2 0,25 + Với k = 2 thì x = 2.2 = 4 0,25 y = 3.2 = 6 + Với k = - 2 thì x = 2.(-2) = - 4 0,25 y = 3.(-2) = - 6
18. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là 0 khi và chỉ khi x = 4; y = 6 0,25 hoặc x = - 4; y = - 6 Bài 5. (5,0 điểm). N E M D F - Nếu hình vẽ sai thì không chấm cả bài hình - Nếu câu trước làm sai thì HS vẫn có thể sử A dụng kết quả câu trước để làm câu sau. I K C B H 1) (1,5 điểm ). Chứng minh : BE = CD . + Ta có D· AC D· AB B· AC ( Vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC ) 0,25 Mà B· AD 900 (Vì AB  AD tại A ) Nên D· AC 900 B· AC (1) · · · + Ta có BAE CAE BAC ( Vì tia AC nằm giữa 2 tia AB và AE ) 0 0,25 Mà C· AE 90 (Vì AE  AC tại A ) Nên B· AE 900 B· AC (2) Từ (1) và (2) suy ra B· AE D· AC 0,25 Xét ∆ ABE và ∆ ADC có : AB = AD (GT) 0,50 B· AE D· AC (chứng minh trên) AE = AC (GT) Do đó ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c) BE = CD ( vì là hai cạnh tương ứng) 0,25 2) (2,5 điểm). Chứng minh: MA  BC + Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F Xét ∆ MAE và ∆ MDN có : MN = MA (Vì M là trung điểm của AN ) 0,25 A· ME D· MN (chứng minh trên) ME = MD (Vì M là trung điểm của DE ) Do đó ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c) Suy ra AE = DN ( vì là hai cạnh tương ứng ) 0,25 và N· DM M· EA ( vì là hai góc tương ứng ) Mà N· DM và M· EA ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AE và DN Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) 0,25 Suy ra A· DN D· AE 1800 (Vì là hai góc trong cùng phía ) (3)
19. + Ta lại có D· AE +D· AB + ·BAC + E· AC = 3600 0,25 Hay D· AE + B· AC = 1800 (Vì D· AB E· AC 900 ) (4) Từ (3) và (4) A· DN = ·BAC + Ta có AE = DN (chứng minh trên) và AE = AC (GT) Nên AC = DN 0,25 Xét ∆ ABC và ∆ DAN có : AB = AD (GT ) A· DN = ·BAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 Do đó ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c) Suy ra D· NA = A· CB ( vì là hai góc tương ứng ) hay D· NF = A· CB Ta có D· AF + B· AD + ·BAH = 1800 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng) Hay D· AF + ·BAH = 900 ( Vì B· AD 900 ) (5) 0,25 Trong ∆ ADF vuông tại F có : F· DA + ·DAF = 900 ( Vì là hai góc phụ nhau ) (6) Từ (5) và (6) F· DA = ·BAH + Ta có A· DN = N· DF + ·FDA ( Vì tia DF nằm giữa 2 tia DA và DN ) B· AC = H· AC + B· AH ( Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC ) 0,25 Mà A· DN = B· AC và F· DA = ·BAH (chứng minh trên) Nên N· DF = H· AC Xét ∆ AHC và ∆ DFN có : N· DF = H· AC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 D· NF = A· CB (chứng minh trên) Do đó ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g) Suy ra D· FN = A· HC ( vì là hai góc tương ứng ) · 0 · 0 Mà DFN = 90 (Vì DE  MA tại F ) nên AHC 90 0,25 Suy ra MA  BC tại H (đpcm) 3).(1,0 điểm). Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c + MA  BC tại H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông tại H 0,25 ∆ AHC vuông tại H Đặt HC = x HB = a - x ( Vì H nằm giữa B và C ) + Áp dụng định lý Py-ta-go cho 2 tam giác vuông AHB và AHC ta có: 0,25 AH2 = AB2 - BH2 và AH2 = AC2 - CH2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB - BH = AC - CH c - (a - x) = b - x 0,25 a2 b2 c2 Từ đó tìm được HC = x = 0,25 2a Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./.
20. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 5 Câu 1: (1,5 điểm) 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 a. Thực hiện phép tính: 11 12 5 5 5 0,265 0,5 2,5 1,25 11 12 3 b. So sánh: 50 26 1 và 168 . Câu 2: (4,0 điểm) a. Tìm x biết: x 2 3 2x 2x 1 b. Tìm x; y Z biết: xy 2x y 5 c. Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7 Câu 3: (1,5 điểm) a. Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x. Từ đó áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ ....+ n. 2bz 3cy 3cx az ay 2bx x y z b. Cho Chứng minh: . a 2b 3c a 2b 3c Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC ( B· AC 90o ), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a. AE = AF; b. HA là phân giác của M· HN ; c. CM // EH; BN // FH. Hết./. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 5 Câu Ý Nội dung Điểm 3 3 3 3 3 3 3 a. 0,5 0.25 A = 8 10 11 12 2 3 4 điểm 53 5 5 5 5 5 5 100 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 165 132 120 110 Câu 1 3 3 3( ) 8 10 11 12 2 3 4 3 1320 1,5 53 1 1 1 1 1 1 53 66 60 55 5 5 5 5( ) điểm A= 100 10 11 12 2 3 4 100 660 263 263 3. 3. 3 3 3945 3 1881 1320 1320 53 49 1749 1225 0.25 5. 5 5 5948 5 29740 100 660 3300