Đề kiểm tra HSG Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Hàm Nghi (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề kiểm tra HSG Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Hàm Nghi (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI HAM NGHI NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán - lớp 7 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1 (4 điểm): a) Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2 (4 điểm): 1 4 2 a. Tìm x, biết: x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. Tìm số tự nhiên x, biết: x 7 x 7 0 Bài 3 (4 điểm): 2 3 1 a) Tìm ba số biết chúng tỉ lệ với : : và tổng các bình phương của ba số đó 5 4 6 bằng 24309. a c a2 c2 a b) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4 (2 điểm): Trong kỳ thi Olympic Toán lớp 7 của một huyện, bốn bạn Lam, Hồng, Chiến, Thắng đạt bốn giải khác nhau: nhất, nhì, ba, KK. Biết rằng mỗi câu sau đây đúng một nửa và sai một nửa: a) Chiến giải nhất, Hồng giải nhì; b) Chiến giải nhì, Thắng giải ba; c) Lam giải nhì, Thắng giải KK. Em hãy xác định đúng giải mà mỗi bạn đạt được? Bài 5 (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE = 50o ; M· EB =25o . Tính H· EM và B· ME = = = = = = Hết = = = = = =
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 Bài 1: (4 điểm): Đáp án Điểm a) (2 điểm) 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 0,5 điểm 6 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 điểm 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 0,5 điểm 212.35.4 59.73.9 1 10 7 0,5 điểm 6 3 2 b) (2 điểm) - Với mọi số nguyên dương n ta có: 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) 0,5 điểm =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 1 điểm = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5 điểm Bài 2: (4 điểm) Đáp án Điểm a) (2 điểm) 1 4 2 x 3,2 3 5 5 1 4 14 0,5 điểm x 3 5 5 7 1 x 1 x 2 3 x 2 3 1 điểm 3 x 1 2 5 3 x 3 7 5 Vậy: x ;  0,5 điểm 3 3  b) (2 điểm)
3. x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 1 10 x 7 1 x 7 0 0,5 điểm x 1 x 7 0 0,5 điểm 1 (x 7)10 0 x 7 0 0,5 điểm 10 (x 7) 1 x 7 0,5 điểm x 8; x 6 Vậy: x 6;7;8 Bài 3: (4 điểm) Đáp án Điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số cần tìm 2 3 1 Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 0,5 điểm và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 0,5 điểm 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 k = 180 và k = 180 0,5 điểm + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. 0,5 điểm + Với k = 180, ta được: a = 72 ; b = 135; c = 30 0,5 điểm b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b c b 0,5 điểm a2 c2 a2 a.b khi đó b2 c2 b2 a.b 0,5 điểm a(a b) a = b(a b) b 0,5 điểm Bài 4: (2 điểm) Giả sử Chiến giải nhất sai thì Hồng giải nhì đúng -> Chiến giải Nhì sai và Thắng giải ba đúng -> Thắng giải KK sai và Lam giải nhì đúng (mâu thuẫn Hồng giải nhì) Giả sử Chiến giải nhất đúng thì Hồng giải nhì sai -> Chiến giải nhì sai và Thắng giải
4. ba đúng -> Thắng giải KK sai và Lam giải nhì đúng. Vậy: Chiến giải nhất, Thắng giải Ba, Lam giải Nhì, còn lại Hồng giải KK Bài 5: (6 điểm) Đáp án Điểm Vẽ hình 0,5 điểm A I B M C H K E a/ (1,5điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) ·AMC = E· MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB Vì AMC = EMB M· AC = M· EB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b/ (2 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) M· AI = M· EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) 1 điểm Suy ra ·AMI = E· MK Mà ·AMI + I·ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E· MK + I·ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng 1 điểm c/ (2 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ = 90o ) có H· BE = 50o H· BE = 90o - H· BE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm H· EM = H· EB - M· EB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm B· ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM
5. Nên B· ME = H· EM + M· HE = 15o + 90o = 105o (định lý góc ngoài của tam giác) 1 điểm Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa.