22 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: 22 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. 22 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ 1. Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x 2 2 x x 2 3 x A ( ) : ( ) 2 x x 2 4 2 x 2 x 2 x 3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, có AC lớn hơn BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D trên đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2. SƠ LƯỢC GIẢI Câu 1: a) 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x - 2)= (x - 2)(3x - 1). b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = (x - a)(ax - 1). Câu 2: a) Điều kiện xác định của A 2 x 4x2 2 x x2 3x (2 x)2 4x2 (2 x)2 x2 (2 x) A ( 2 ) : ( 2 3 ) . b) 2 x x 4 2 x 2x x (2 x)(2 x) x(x 3) 4x(x 2)x(2 x) 4x2 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A . (2 x)(2 x)(x 3) x 3 . x 3 1
2. 4x2 x 0, x 3, x 2 : A 0 0 x 3 0 x 3(TMDKXD) x 3 Vậy với x > 3 thì A > 0. x 7 4 x 11(TMDKXD) x 7 4 Ta có: x 7 4 x 3(KTMDKXD) 121 Với x = 11 thì A = 2 a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 Bài 3 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). a b c ayz+bxz+cxy b) Từ : 0 0 ayz + bxz + cxy = 0 x y z xyz x y z x y z x2 y2 z2 xy xz yz Ta có : 1 ( )2 1 2( ) 1 a b c a b c a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz x2 y2 z2 2 1 1(dfcm) a2 b2 c2 abc a2 b2 c2 Bài 4 H B C F O E A K D a) Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO(g c g) => BE = DF Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. b) Ta có: ·ABC ·ADC H· BC K· DC CH CK Chứng minh : CBH : CDK(g g) CH.CD CK.CB CB CD 2
3. AF AK c) Chứng minh : AFD : AKC(g g) AD.AK AF.AC AD AC CF AH Chứng minh : CFD : AHC(g g) CD AC CF AH Mà : CD = AB AB.AH CF.AC AB AC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). ĐỀ SỐ 2 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4 4 x 2 x 3 x 4 x 5 24 b. Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 a b c a2 b2 c2 c. Cho 1. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b 2 x 2 1 10 x Câu2. Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD. a. Chứng minh: DE CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4. 1 1 1 a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c b. Cho a, b d­¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 3
4. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Câu Đáp án Điểm a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) (2 đ ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) – 24 = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) iểm) Câu 1 (6 đ b. x4 30x2 31x 30 0 iểm) x2 x 1 x 5 x 6 0 (*) Vì x2 - x + 1 > 0  (*) (x - 5)(x + 6) = 0 suy ra x=5 hoặc x=-6 (2) a b c c. Nhân cả 2 vế của: 1 b c c a a b (2 đ với a + b + c; rút gọn đpcm iểm) x 2 1 10 x2 Biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rút gọn được kq: A (1.5 đ Câu 2 x 2 iểm) (6 đ 1 1 1 4 4 b. x x hoặc x A hoặc A (1.5 đ iểm) 2 2 2 3 5 iểm) c. A 0 x 2 (1.5) 1 (1.5 đ d. A Z Z ... x 1;3 x 2 iểm) E A B HV + GT + KL (1 đ iểm) F M D C Câu 3 a. Chứng minh: AE FM DF (2 đ (6 đ AED DFC đpcm iểm) iểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 đ iểm) c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi (1 đ ME MF a không đổi iểm) 4
5. SAEMF ME.MF lớn nhất ME MF (AEMF là hình vuông) M là trung điểm của BD. 1 b c 1 a a a 1 a c a. Từ: a + b + c = 1 1 b b b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 Câu 4: a b c b a c a c b (2 đ 3 2 2 2 9 iểm) 1 Dấu bằng xảy ra a = b = c = 3 b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0  a = 1 hoÆc b = 1 Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 §Ò thi SỐ 3 a 3 4a 2 a 4 C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P= a 3 7a 2 14a 8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph­¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . C©u 3 : (2 ®iÓm) 1 1 1 1 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 5
6. b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a b c A = 3 b c a a c b a b c C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E . Chøng minh : BC 2 a) BD.CE= 4 b) DM,EM lÇn l­ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi . ®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái C©u 1 : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nªu §KX§ : a 1;a 2;a 4 0,25 a 1 Rót gän P= 0,25 a 2 a 2 3 3 b) (0,5®) P= 1 ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ ­íc cña 3, a 2 a 2 mµ ¦(3)= 1;1; 3;3 0,25 Tõ ®ã t×m ®­îc a 1;3;5 0,25 C©u 2 : (2®) a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 . 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a 2 2ab b 2 ) 3ab= =(a+b)(a b) 2 3ab 0,5 V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ; Do vËy (a+b)(a b) 2 3ab chia hÕt cho 9 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 Ta thÊy (x2+5x)2 0 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,25 Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 6
7. Tõ ®ã ta t×m ®­îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25 C©u 3 : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,25 Ph­¬ng tr×nh trë thµnh : 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 0,25 x 4 x 7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Tõ ®ã t×m ®­îc x=-13; x=2; 0,25 b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y z x z x y Tõ ®ã suy ra a= ;b ;c ; 0,5 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vµo ta ®­îc A= ( ) ( ) ( ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Tõ ®ã suy ra A (2 2 2) hay A 3 0,25 2 C©u 4 : (3 ®) a) (1®) ˆ 0 ˆ Trong tam gi¸c BDM ta cã : D1 120 M 1 ˆ 0 ˆ 0 ˆ y V× M 2 =60 nªn ta cã : M 3 120 M 1 A ˆ ˆ Suy ra D1 M 3 x E Chøng minh BMD ∾ CEM (1) 0,5 D 2 BD CM 1 Suy ra , tõ ®ã BD.CE=BM.CM 2 3 BM CE B 1 C M BC BC 2 V× BM=CM= , nªn ta cã BD.CE= 0,5 2 4 BD MD b) (1®) Tõ (1) suy ra mµ BM=CM nªn ta cã CM EM 7
8. BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 ˆ ˆ Tõ ®ã suy ra D1 D2 , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE Chøng minh t­¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5 c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5 C©u 5 : (1®) Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®­îc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Tõ ®ã ta t×m ®­îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ÑEÀ THI SOÁ 4 Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc: x a x 10 1 phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a, b ñeå ña thöùc A(x) = x4 3x3 ax b chia heát cho ña thöùc B(x) x2 3x 4 8
9. Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH, ùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng 1 1 1 1 P ... 1 22 32 44 1002 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm Caâu Ñaùp aùn Bieåu ñieåm 1 A a 1 a 3 a 5 a 7 15 2 ñ a2 8a 7 a2 8a 15 15 0,5 ñ 2 a2 8a 22 a2 8a 120 0,5 ñ 2 a2 8a 11 1 0,5 ñ a2 8a 12 a2 8a 10 0,5 ñ a 2 a 6 a2 8a 10 2 Giaû söû: x a x 10 1 x m x n ;(m,n Z) 0,25 ñ 2 ñ x2 a 10 x 10a 1 x2 m n x mn 0,25 ñ m n a 10 0,25 ñ m.n 10a 1 Khöû a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + 1 mn 10m 10n 100 1 0,25 ñ m(n 10) 10n 10) 1 0,25 ñ m 10 1 m 10 1 vì m,n nguyeân ta coù: n 10 1 v n 10 1 0,25 ñ suy ra a = 12 hoaëc a =8 0,25 ñ 0,25 ñ 3 Ta coù: 1 ñ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 ñ a 3 0 a 3 0,5 ñ Ñeå A(x)B(x) thì b 4 0 b 4 9
10. 4 3 ñ 0,25 ñ Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng Hx laø phaân giaùc cuûa goùc A· HB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc A· HC maø A· HB vaø A· HC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc 0,25 ñ Hay D· HE = 900 maët khaùc A· DH A· EH = 900 Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1) 0,25 ñ 0,25 ñ ·AHB 900 ·AHD 450 2 2 0,25 ñ ·AHC 900 Do ·AHE 450 0,5 ñ 2 2 ·AHD ·AHE 0,5 ñ Hay HA laø phaân giaùc D· HE (2) Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 1 1 1 1 5 P ... 22 32 44 1002 2 ñ 1 1 1 1 ... 2.2 3.3 4.4 100.100 0,5 ñ 1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 0,5 ñ 1 ... 2 2 3 99 100 1 99 1 1 100 100 0,5 ñ 0,5 ñ 10
11. ĐỀ THI SỐ 5 Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b)x 4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 . 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 4: (3 điểm) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x2 1 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là mootj điểm trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: A· FE B· FD, B· DF C· DE, C· ED A· EF . a) Chứng minh rằng: B· DF B· AC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: 3 a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = x y z x3 y3 z3 2 = y z x y z x y z x x2 y z y2 yz z2 11
12. 2 = y z 3x 3xy 3yz 3zx = 3 y z x x y z x y = 3 x y y z z x . b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x4 x 2010x2 2010x 2010 = x x 1 x2 x 1 2010 x2 x 1 = x2 x 1 x2 x 2010 . Bài 2: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 Bài 3: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010 . Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: 2 a 1 a 1 a a 2 19 a 2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a 2 49 3a 2 3a 1 49 49a 2 49a 49 57a 2 57a 19 8a 2 8a 30 0 3 a 2 2 2 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 (thoả ĐK) 5 a 2 4023 4015 Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) 2 2 4023 4015 Vậy x = và x = là giá trị cần tìm. 2 2 Bài 4: 12
13. 2010x 2680 A x2 1 335x2 335 335x2 2010x 3015 335(x 3)2 = 335 335 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. Bài 5: a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì Eµ Aµ F 90o ) C Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của B· AC . b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF D Suy ra 3AD + 4EF = 7AD F 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Bài 6: A E B a) Đặt A· FE B· FD , B· DF C· DE , C· ED A· EF . Ta có B· AC   1800 (*) Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. A · · · o  E OFD OED ODF 90 (1) F   Ta có O· FD  O· ED  O· DF 270o (2)  O (1) & (2)   180o (**) (*) & (**) B· AC B· DF. b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: B D C Bµ , Cµ  s s AEF s DBF DEC ABC BD BA 5 5BF 5BF 5BF BD BD BD BF BC 8 8 8 8 CD CA 7 7CE 7CE 7CE CD CD CD CE CB 8 8 8 8 AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC 7 13
14. CD BD 3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5 ĐỀ SỐ 6 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương cos 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của góc ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của các góc AIC, AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB BC CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN • Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 14
15. 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A ( 0,25điểm ) (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,25điểm) 2 Ta có: abcd k với k, m N, 31 k m 100 2 (0,25điểm) (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m 2 abcd k 2 abcd 1353 m (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 hoặc m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 hoặc k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng A (0,25điểm) C’ B’ x H N 15 M I A’ C B D
16. 1 .HA'.BC S HA' HBC 2 a) S 1 AA' ; (0,25điểm) ABC .AA'.BC 2 S HC' HAB SHAC HB' Tương tự: ; (0,25điểm) SABC CC' SABC BB' HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 (0,25điểm) AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI.AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 2 (AB BC CA) 4 (0,25điểm) AA'2 BB'2 CC'2 Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó ĐỀ SỐ 7 Bài 1 (4 điểm) 16
17. 1 x3 1 x2 x : Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a2 b2 c2 ab ac bc . Chứng minh rằng a b c. Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5. Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tích); SCOD= 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Đáp án Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ 1 x 3 x x 2 (1 x)(1 x) A= : 1 x (1 x)(1 x x 2 ) x(1 x) 17
18. (1 x)(1 x x 2 x) (1 x)(1 x) 0,5đ = : 1 x (1 x)(1 2x x 2 ) 1 0,5đ = (1 x 2 ) : (1 x) = (1 x 2 )(1 x) 0,5đ b, (1 điểm) 2 5 5 5 0,25đ Tại x = 1 = thì A = 1 ( ) 2 1 ( ) 3 3 3 3 25 5 0,25đ = (1 )(1 ) 9 3 34 8 272 2 0,5đ . 10 9 3 27 27 c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 x 2 )(1 x) 0 (1) 0,25đ Vì 1 x 2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 0,5đ KL 0,25đ Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc Biến đổi để có (a 2 b 2 2ac) (b 2 c 2 2bc) (a 2 c 2 2ac) 0 0,5đ Biến đổi để có (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 0 (*) 0,5đ Vì (a b) 2 0 ; (b c) 2 0 ; (a c) 2 0; với mọi a, b, c 0,5đ nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a b) 2 0 ; (b c) 2 0 và (a c) 2 0 ; 0,5đ Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ Bài 3 (3 điểm) Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số 0,5đ x cần tìm là (x là số nguyên khác -11) x 11 x 7 0,5đ Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x 15 (x khác -15) x x 15 0,5đ Theo bài ra ta có phương trình = x 11 x 7 18
19. Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) 1đ 5 0,5đ Từ đó tìm được phân số 6 Bài 4 (2 điểm) Biến đổi để có A= a 2 (a 2 2) 2a(a 2 2) (a 2 2) 3 0,5đ = (a 2 2)(a 2 2a 1) 3 (a 2 2)(a 1) 2 3 0,5đ Vì a 2 2 0 a và (a 1) 2 0a nên (a 2 2)(a 1) 2 0a do đó 0,5đ (a 2 2)(a 1) 2 3 3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1 0,25đ KL 0,25đ Bài 5 (3 điểm) B M N A D I C a,(1 điểm) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ b,(2điểm) 4 3 8 3 0,5đ Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD cm 2 3 4 3 0,5đ Tính được NI = AM = cm 3 19
20. 8 3 1 4 3 0,5đ DC = BC = cm , MN = DC cm 3 2 3 8 3 0,5đ Tính được AI = cm 3 A B O Bài 6 (5 điểm) M N D C a, (1,5 điểm) OM OD ON OC 0,5đ Lập luận để có , AB BD AB AC OD OC 0,5đ Lập luận để có DB AC OM ON 0,5đ OM = ON AB AB b, (1,5 điểm) OM DM OM AM 0,5đ Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 0,5đ Chứng minh tương tự ON. ( ) 1 AB CD 1 1 1 1 2 0,5đ từ đó có (OM + ON). ( ) 2 AB CD AB CD MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5đ , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD S BOC 0,5đ 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 0,5đ 2 2 2 Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do đó SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (đơn vị DT) 0,5đ ĐỀ SỐ 8 20