Một số bài Toán điển hình - Hình học Lớp 9

Nội dung tài liệu: Một số bài Toán điển hình - Hình học Lớp 9

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH – HÌNH HỌC 9 Bài toán 1: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N). Gọi E là trung điểm MN, H là giao điểm của AO và BC, K là giao điểm của AO với (O), I là giao điểm thứ hai của CE với (O). 1. Một số kết quả chứng minh đơn giản: 1.1. Chứng minh 5 điểm A, O, B, C, E cùng thuộc một đường tròn. 1.2. Chứng minh rằng: AB2 = AH.AO. 1.3. Chứng minh EA là tia phân giác của góc BEC. 1.4. Chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 1.5. Chứng minh BI // MN. 1.6. BE cắt (O) tại D. Chứng minh: CD // MN. 1.7. Chứng minh: AH.AO = AM.AN. 1.8. Chứng minh tứ giác HMNO nội tiếp. 1.9. Gọi F là giao điểm của BC và MN. Chứng minh: AE.AF = AN.AM 1.10.Chứng minh HC là phân giác của góc MHN. 1.11. Chứng minh BD = CI. B I K H A O M E F N D C 2. Chứng minh rằng khi đường thẳng MN cố định và A di chuyển trên MN thì đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. B I Hướng dẫn: Chứng minh: ∆OCE ~ ∆OFC(g.g) O (  OEC =  OCF), cùng bù với hai góc bằng nhau) 2 2 A OC R N => OF cố định M E OE OE C F 3. Đường thẳng qua O vuông góc với AO cắt AB, AC tại P và Q. Khi đường thẳng MN cố định, tìm vị trí của điểm A trên MN để diên tích tam giác PAPQ đạt giá trị nhỏ nhất. B Hướng dẫn: - Ta có ∆APQ cân tại A => S = OP.AO ∆APQ A H - ∆AOP vuông tại O, OB là đường cao O M => S∆APQ = OP.AO = OB.AP = R(AB+BP) R.2 AB.BP (cauchy) N C 1 Q
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH – HÌNH HỌC 9 Mà AB.BP = OB2 = R2. 2 2 Vậy S∆APQ R.2 R 2R 2 Hay S∆APQ nhỏ nhất là 2R khi AB = BP  ∆ABO vuông cân tại B => AO = 2 R S ∆APQ nhỏ nhất khi A thuộc đường thẳng MN và cách O một khoảng 2 R. 4. Chứng minh rằng khi đường thẳng MN cố định, A di chuyển trên đường thẳng MN thì giao điểm H của BC và AO luôn thuộc một cung tròn cố định. Hướng dẫn: Chứng minh tứ giác MION nội tiếp bằng cách chứng minh: 2 AH.AO = AM.AM (=AB ) B => Tứ giác HMNO nội tiếp, Mà: O, M, N cố định K H => H thuộc đường tròn cố định. A O M F E N C 5. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm S bất kỳ. Tiếp tuyến tại S của (O) cắt AB, AC lần lượt tại U và V. 5.1. Chứng minh chu vi tam giác AUV không đổi khi S di chuyển trên cung nhỏ BC. 5.2. Xác định vị trí của S để chu vi tứ giác PQUV đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn: 5.1. C∆AUV = AV + VS + SU + AU = (AV + VS) + (SU + AU) (VS = BV; US = UQ) = AB + AC = 2AB không đổi. P 5.2. Chứng minh ∆VOP ~ ∆OUQ B 0 180 BOK V (Vì  O1 +  O2 =  O3 +  O4 = = P1) 1 2 PQ2 4  VP.UQ = OP.OQ = H A O 4 3 2 Mà chu vi tứ giác PQUV là: S 1 VB + VU + UQ + PQ U = 2VP + 2UQ + PQ – 2BP C 2.2 VP.UQ + PQ – 2BP = 2PQ + PQ - 2BP Q = 3.PQ - 2.BP (không đổi) Vậy chu vi tứ giác KQNM nhỏ nhất là: 3.PQ - 2.BP khi VP = UQ hay s là điểm chính giữa cung nhỏ BC. 2
3. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH – HÌNH HỌC 9 6. Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O; R) cố định. Từ điểm A kẻ đường thẳng d bất kỳ không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại B, C (B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại D. Kẻ DH vuông góc với AO tại H; DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC. 6.1. Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O). 6.2. Chứng minh tích HB.HC không đổi khi đường thẳng d quay quanh điểm A. Hướng dẫn: b) Ta có ∆OHA ~ ∆OIA (g.g) => OH.OA = OI.OA = OB2 =R2 = MO2 => ∆OHM ~ ∆OMA (c.g.c) =>  OMA = 900 => đpcm. c) + Ta có HN là phân giác  BHC => ∆NBH ~ ∆HDC (g.g) H O (1) => HB.HC = NH.HD A + DI.DO = DN.DH (tgiác NHOI nội tiếp) I B N  (DO – OI)DO = (DH – NH).DH C DO 2 – DH2 = OI.OD – HN.HD M  HN.HD = OI.OD – OH2 = R2 – OH2 (2) R 2 + Mà OH.OA = R2 => OH không đổi (3) OA 2 Từ (1); (2) và (3) suy ra HB.HC = R2 - R không đổi. OA D Cách 2: “Đơn giản hơn” ∆ABH ~ ∆COH (g.g) (  ABH =  HOC,  AHB=  OHC)  HB.HC = AH.AO = AM2 không đổi. 7. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ tiếp tuyến AB và AC đến (O), (B, C là tiếp điểm). Đường thẳng qua C và vuông góc với AB tại H, CH cắt (O) tại E và cắt OA tại D. 7.1. Chứng minh tam giác OCD cân. 7.2. Gọi M là trung điểm của đoạn CE, OM cắt AC tại K. Chứng minh: 7.2.1. BM đi qua trung điểm của OH. 7.2.2. Tứ giác OEKC nội tiếp. 7.3. Khi OA = 2R. Tính theo R phần diện tích tứ giác OBAC nằm ngoài (O). Hướng dẫn: C R 1 7.3: OA = 2R => cos ·AOB = 2R 2 K 0 0 => ·AOB = 60 . => C· OB = 120 . M 2 2 D R .120 R O => S = A C¼OB 360 3 Mặt khác ta có: 2 E SACOB = 2.SACO = AC.OC 3R.R 3R H B 3
4. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH – HÌNH HỌC 9 3 3 Vậy diện tích tứ giác ABOC nằm ngoài (O) là: .R2 3 8. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng d đi qua A, cắt tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tại M và N và d cắt (O) tại E (E khác A); MC cắt BN tại F. Chứng minh rằng: 8.1. ∆ANC ~ ∆MAB; ∆MBC ~ ∆BCN. 8.2. Tứ giác BMEF nội tiếp. 8.3. Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d quay quanh A. Hướng dẫn: 8.1. + ∆ANC ~ ∆MAB (vì  B =  C = 600; 1  ANC =  MAB = EB) M 2 AC NC AC MB B + ∆ANC ~ ∆MAB => => MB AB NC AB E BC MB => (AB = BC = CA);  MBC =  BCN = 1200 F NC BC A I O => ∆MBC ~ ∆BCN (c.g.c) 8.2. + Tứ giác AEBC nội tiếp =>  MEB =  ACB = 600 (1) +  BFM =  FBC +  FCB =  FMB +  FCB C = 1800 -  MBC = 600 (2) Từ (1) và (2) suy ra Tứ giác MEBF nội tiếp. 8.3. Chứng minh tương tự ta có EFCN nội tiếp N Gọi I là giao điểm của EF và BC. + Ta có  BMF =  FBI => BI là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFBM => BI2 = IF.IE (3) +  ICF =  FNC => CI là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFCN => IC2 = IE.IF (4). Từ (3) và (4) suy ra BI2 = CI2 => I là trung điểm của BC là điểm cố định. 9. Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d cắt (O) tại E và B (E nằm giữa B và H). 9.1. Chứng minh ABE = EAH và ∆AHB ~ ∆EHA 9.2. Lấy C đối xứng với A qua H, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp. B 9.3. Xác định vị trí của điểm H trên d sao cho AB = 3 R. Hướng dẫn: 9.3. Kẻ OF vuông góc với AB => AF = 3 R và AO = R 2 O 3 F =>  OAF = 300 ; =>  ABH = 300 => AH = R 2 10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại P (P nằm khác phía với A đối với BC). Trên cung BC không chứa K E 4 A H C
5. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH – HÌNH HỌC 9 điểm A lấy điểm K (K khác B, C). Đường thẳng PK cắt (O) tại điểm thứ hai là Q (Q khác A). 10.1. Đường phân giác hai góc KCQ và KBQ cắt nhau tại I. Chứng minh K; I; Q thẳng hàng. 10.2. Giả sử KA đi qua trung điểm BC chứng minh AQ //BC. C Hướng dẫn: 1 2 A 10.1.  PIB =  IQP +  B1 =  KBP +  B2 (  IQP =  KBP) =>  IBP => ∆PIB cân tại P => ∆IPC cân tại P H =>  C1 =  C2. O 10.2. Tứ giác KMOQ nội tiếp M 1 I =>  AKQ =  HOQ =  AOQ Q 2 K => HO vuông góc với AQ P Mà OP vuông góc với BC => BC//AQ 1 2 B 11. Cho điểm A năm ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B;C là tiếp điểm). Một điểm D nằm trên cung nhỏ BC, gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB; AC, đường trung trực của DA cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E. Chứng minh E, M, N thẳng hàng. B Hướng dẫn: Gọi E là giao điểm của MN với trung trực AD cần chứng minh ED là tiếp tuyến (O). M 2 2 Ta có: OB = OH.OA = OD E => OD là tiếp tuyến (AHD) mà EH = EA = ED O H (cách vẽ) => ED vuông góc với OD (ĐPCM) A D N D B C A 1 12. Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O). A là một điểm di chuyểnK trênI cung lớn BC. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở M. Đường2 thẳng qua M O song song với AC cắt AB ở E, song song với AC cắt AB ở D. Chứng1 minh rằng O' đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. M Hướng dẫn: 1 +) Ta có  A1 =  O1 =  O2 =  E1 E => M,B,O,C,E cùng thuộc một đường tròn. (1) C +)  ADM +  O2 =  ADM +  E1 0 =  AEM +  E1 = 180 => O,B,D,M cùng thuộc một đường tròn. (2) +) Từ (1) và (2) suy ra C, E, O, B, D, M cùng thuộc đường tròn tâm O’. 5
6. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH – HÌNH HỌC 9 +) BD//ME => EBDM là hình thang cân => DE = BM không đổi => O’I = O’K Mà O’ không đổi, O’I không đổi => đcm Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt (O) lần lượt tại A', B', C'. 1. Một số kết quả chứng minh đơn giản: 1.1. Chứng minh các tứ giác: AHEF, BFEC .....nội tiếp. 1.2. Chứng minh rằng AE.AC = AH.AD = AF.AB. 1.3. Chứng minh A', B', C' đối xứng với H qua BC, AC, AB. 1.4. Chứng minh B'C'//EF. 1.5. Chứng minh: CA.CE + BA.BF = BC2. 1.6. Chứng minh AO vuông góc với EF. 1.7. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. A B' E C' F H O B D C A' 2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AH = 2OM. A Hướng dẫn: Kẽ OM, ON vuông góc với BC, AC. => M, N là trung điểm của BC, CA. B' => MN//AB; ON//BH; ON//AH. E C' => HAB ~ OMN, mà AB = 2MN N F H => AH = 2OM (đpcm) O B D M C A' 3. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua H và vuông góc với MH cắt AB, AC tại I và K. Chứng minh H là trung điểm của IK. A Hướng dẫn: Gọi Q là điểm đối xứng với C qua H. Nối HB, HI ta có: B' + HI là đường trung bình của CQB Q C' E 6 K F H O I B D M C A'
7. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH – HÌNH HỌC 9 => HI//QB => HI vuông góc với QB. Mà BF vuông góc với QH => I là trực tâm của QBH. => QI vuông góc với BE => QI//AC. + Ta có: HIQ = HKC (g.c.g) => HI = HK (đpcm). 4. Qua B, C, M vẽ các đường thẳng vuông góc với EF lần lượt tại S, R, B. Chứng minh rằng: SF = ER; MS = MR. Hướng dẫn: + Ta có: Tứ giác SBCR là hình thang, MB = MC => MP là đường trung bình => PS = PR(1) A => MSR cân tại M => MS = MR. + M là tâm đường trong ngoại tiếp BFEC, Mà MP vuông góc EF => PE = BF(2). B' R Từ (1) và (2) suy ra: SF = ER. (đpcm) C' E P S F H O B D M C A' 5. Đường thẳng qua F vuông góc với BC cắt đường thẳng DE tại G. Chứng minh rằng khi BC không đổi, điểm A di chuyển trên cung lớn BC thì điểm G di chuyển trên một cung tròn cố định. A Hướng dẫn: Theo 1.7 ta có DH là phân giác của góc FDE. Mà B· DH = C· DH = 900 => E· DC = F· DB B' => F· DB = B· DD => DFG cân tại D. C' => BC là trung trực của GF E => BFC = BGC (c.c.c) F H O => B· GC = B· FC = 900 => G thuộc nữa đường tròn đường kính BC không chứa điểm F (đpcm) B D C 6. Gọi L là trung điểm của AH. Chứng minh rằng tứ giác DELF nội tiếp. Hướng dẫn: A' A µ µ µ ¶ G + Ta có: LAF cân tại L => L1 = 2. A1 ; L2 = 2. A2 1 2 => F· LE 2.B· AC (1). ¶ µ ¶ ¶ B' + Dễ dàng chứng minh được: D1 B1 ; D2 C2 L · µ ¶ (2) C' 1 2 E => FDE B1 C2 . F H + Từ (1) và (2) suy ra: O 1 7 1 2 B 2 D C A'
8. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH – HÌNH HỌC 9 · · · µ · ¶ 0 0 0 FLE FDE BAC B1 BAC C2 = 90 + 90 = 180 . => Tứ giác DELF nội tiếp (đpcm). 7. Cho tam giác nhọn ABC. Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BE tại K. Gọi O, M lần lượt là trung điểm của AH, CB. OM cắt BE tại I. Chứng minh rằng OI = 1 AK. 2 Hướng dẫn: A Kẻ đường thẳng vuông góc với FE cắt BE tại P 1 1 +) Ta có OE = OF = AH; ME = MF = BC O Q 2 2 K F E => OM là trung trực của EF => OM  EF P I +) Xét ∆HAP có OH =OA, OI//AP (cùng vuông H B góc với EF) => OI = 1 AP (1) 2 D M  EF, AK  DE +) Ta có: AE là phân giác góc ngoài của ∆DEF mà AP C => PAE = KAE => ∆PAK cân tại A => AP = AK (2) +) Từ (1) và (2) suy ra: OI = 1 AK 2 8. Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm. Chứng minh rằng: HB2 + AC2 = HC2 + AB2. A Hướng dẫn: Kẻ OI  AB; OK  AC K => BH = 2.OK; CH = 2.OI I AB = 2.AI; AC = 2.AK O H Ta có: OK2 + AK2 = OI2 + AI2 = OA2. 2 2 2 2 BH AC CH AB C => B 2 2 2 2 => HB2 + AC2 = HC2 + AB2. 9. Cho điểm A cố định trên đường tròn (O;R), BC là dây cung thay đổi sao cho độ dài BC = d không đổi. Tìm quỹ tích trực tâm H của ∆ABC. Hướng dẫn: A 8 O H C B K
9. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH – HÌNH HỌC 9 + Ta có AH = 2.OK d2 + OK = OC2 KC2 R 2 không đổi 4 d2 d2 Vậy AH = 2. R 2 => H thuộc cung tròn tâm A bán kính R 2 4 4 10. Cho BC là dây cung cố định thuộc đường tròn (O:R). A là điểm di động trên cung lớn BC. 10.1. Tìm quỹ tích trực tâm H của ∆ABC. 10.2. Xác định vị trí của A để tổng các khoảng cách từ O đến các cạnh của tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. A Hướng dẫn: 10.1. Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua BC O Ta có: AH = OO’ và O là điểm cố định. H C => Tứ giác AOO’H là hình bình hành B => O’H = AO =R. O' => H thuộc cung BC của đường tròn tâm O’ bán kính R. 10.2. Ta có tổng các khoảng cách từ O đến các cạnh của tam giác ABC là: +) 1 .(HA+HB+HC) trong đó HA = OO’ không đổi. 2 +) O’B = O’C = O’H = R. Hay H di chuyển trên cung BC của (O’;R) => HB = HC lớn nhất khi H là điểm chính giữa của cung BC => A là điểm chính giữa cung BC của (O;R) Bài toán 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Ax, By (thuộc nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn (O)). Từ một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại N. 1. Một số kết quả chứng minh đơn giản: 1.1. Chứng minh các tứ giác OMCA, OMDB nội tiếp. 1.2. Chứng minh: AC + BD = CD. 1.3. Chứng minh góc COD vuông. 1.4. Chứng minh tích AC. BD không đổi khi M đi chuyển trên nữa đường tròn (O). 9
10. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH – HÌNH HỌC 9 1.5. Chứng minh OC // BM. 1.6. Chứng minh AB là tip tuyến của đường tròn đường kính CD. 1.7. Chứng minh: MN  AB. 1.8. Gọi H là giao điểm của AM và OC. CMR: NH  Ax. 1.9. Gọi I là giao điểm của MN và OC. CMR: ACMI là hình thoi. y x K D M C H N I A O B 10