Chuyên đề Rút gọn biểu thức chưa căn và bài Toán liên quan - Năm học 2019-2020

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Rút gọn biểu thức chưa căn và bài Toán liên quan - Năm học 2019-2020

1. Tailieumontoan.com  Sưu tầm và tổng hợp CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Thanh Hóa, tháng 10 năm 2019
2. 1 CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn và bài toán liên quan. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về biểu thức đại số thường được ra trong các kì thi gần đây. Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn và bài toán phụ sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này! TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3. 2 Mục Lục Trang Lời nói đầu 1 Các công thức biến đổi căn thức 3 Cách tìm điều kiện trong bài toán chứa căn thức 3 Các dạng toán biến đổi căn thức thường gặp 4 Dùng ẩn phụ để đơn giải hóa bài toán 7 Các bài toán về tính tổng dãy có quy luật 8 Rút gọn biểu thức chưa một hay nhiều ẩn 12 Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan 14 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức khi x = k (với k là hằng số) 14 Dạng 2:Tính giá trị biến x để P = k (với k là hằng số) 16 Dạng 3: Tính giá trị biến x để P = A (với A là biểu thức chứa ẩn) 17 Dạng 4: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P đã cho thỏa mãn bất đẳng thức P < 18 k ( > ; ≥; ≤ k) với k là hằng số Dạng 5: So sánh biểu thức đã cho với k (hằng số) hoặc B (biểu thức chứa ẩn) 20 Dạng 6: So sánh biểu thức rút gọn A với hoặc A2 22 Dạng 7: Chứng minh với mọi giá trị của √ẩn x để biểu thức A đã cho xác định thì 23 A > k ( < ; ≥; ≤ k) với k là hằng số. Dạng 8: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P đã cho thỏa mãn bất đẳng thức P < 25 A ( > ; ≥; ≤ A) với A là biểu thức chứa ẩn. Dạng 9: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên 27 Dạng 10: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức đạt GTNN hoặc GTLN 32 Dạng 11: Chứng minh biểu thức đã cho luôn âm hoặc luôn dương 35 Dạng 12: Tìm giá trị của ẩn thỏa mãn phương trình, bất phương trình chứa dấu 36 giá trị tuyệt đối Dạng 13: Tìm giá trị tham số m để x thỏa mãn phương trình, bất phương trình 38 Bài tập luyện tập 42 Hướng dẫn giải 54 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4. 3 CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN  Các công thức biến đổi căn thức 2 A nÕu A≥ 0 1. AA= =  −A nÕu A < 0 2. AB= A. B (Với AB≥≥0; 0 ) AA 3. = (Với AB≥>0; 0 ) B B 4. AB2 = A B (Với B ≥ 0) 5. A B= AB2 (Với AB≥≥0; 0 ) 6. A B= − AB2 (Với AB<≥0; 0 ) A 1 7. = AB (Với AB≥>0; 0 ) BB A AB 8. = (Với B > 0 ) B B ± C C() AB 2 9 = (Với A ≥≠0; A B ) AB± AB− 2 C CA()± B 10 = (Với AB≥≥≠0; 0; A B ) AB± AB− 3 11 ()3 A=3 AA3 =  Cách tìm điều kiện trong bài toán chứa căn thức BIỂU THỨC - ĐKXĐ: VÍ DỤ 1. A ĐKXĐ: A ≥ 0 Ví dụ: x − 2018 ĐKXĐ: x ≥ 2018 A x + 4 2. ĐKXĐ: B ≠ 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x ≠ 7 B x − 7 A x +1 3. ĐKXĐ: B > 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x > 3 B x − 3 A x x ≥ 0 4. ĐKXĐ: AB≥>0; 0 Ví dụ: ĐKXĐ:  ⇔>x 3 B x − 3 x > 3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5. 4 A ≤ 0 x +≤10   A B < 0 x +1 x +<20 x <−2 5. ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ: ⇔  B A ≥ 0 x + 2 x +≥10 x ≥1   B > 0 x +>20 Cho a > 0 ta có:   2 xa> 6. 2 xa> Ví dụ: x >1 ⇔  xa>⇔ xa<− xa<− Cho a > 0 ta có: 7. Ví dụ: xx2 <⇔−<<42 2 x2 < a ⇔− ax < < a  Dạng 1: Các bài toán biến đổi căn thức thường gặp Thí dụ 1. (Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh) Tính giá trị của biểu thức: A=−+− 6 25 1465 Lời giải 22 Ta có: A= 6 − 25 + 1465 − =() 5 − 1 +() 3 − 5 = 5 −+− 1 3 5 = 2 Thí dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011) 3 21− Cho E=3 21 + 3 . Chứng minh rằng E là số nguyên () 3 Lời giải Ta có: 3 3 ()21− 3 21− E=3 33 21. + =3  2132 ++2 21 + () 33() = (8− 3 7)22 −+ (8 3 7) =3 ()1 +333 2 + 4() 21 − = 3 21 −= 1 Vậy E là số nguyên Thí dụ 3. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011) 448+ 21 −− 8 − 21 − Rút gọn: A = . 4 8−+ 21 Lời giải T Đặt A = . Ta có T > 0 nên TT= 2 M TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6. 5 2 4 44 4 Xét T=+−−+− 8 21 2.8 21.8 −−+−− 21 8 21   =284 − 2 8 −−() 2 1 =−+284 2 2 1 4 =2 8 −+ 21  4 ⇒=T 2 8 − 21 +  ⇒=A2 Thí dụ 4. (Trích đề thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013) 2 10+−− 30 2 2 6 2 Rút gọn biểu thức: A= : 2 10−− 2 2 3 1 Lời giải 2 10+−− 30 2 2 6 2 Ta có: : = 2 10−− 2 2 3 1 22(51)6(51)31−+−−+ 2 3 31 −+ 423 31 −+− 31 31 1 .= .= ..= = 2 2( 5− 1) 2 2 2 4 2 2 22 Thí dụ 5. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017) 43+ +− 43 Tính giá trị của biểu thức N = +−27 10 2 4+ 13 Lời giải 2( 4+ 3 +− 4 3) Ta có: N= +−25 10 2 + 2 8+ 2 13 2( 4+ 3 +− 4 3) = +−(5 2)2 (43)24343(43)+ + + − ++ 2( 4+ 3 +− 4 3) 2( 4+ 3+− 4 3) = +(52)−2 = +−52 ( 4+ 3 +− 4 3)2 43+ +− 43 =25 +− 25 = Thí dụ 6. (Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Long An năm 2012) 2−+− 3 4 15 + 10 Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:A = 23− 3 5 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7. 6 Lời giải  2 2−+− 3 4 15 + 10 2−+− 3 4 15 + 10  Ta có: A = =  23− 3 5 2 23− 3 5  22 −+ − + 4− 23 +− 8 21525 + ()3 1() 5 3 25 = = 2 46− 6 5 ()35− 1 3−+ 1 5 − 3 + 25 35− 1 = = = 1 35− 1 35− 1 Thí dụ 7. (Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017) + 32 − 32 Rút gọn biểu thức: B = + ++ 322 −− 322 Lời giải Ta có: B 23+ 23 − 2323 +− = +=+ 2 2++ 4 23 2 −− 4 23 3+−33 3 B (2+ 3)(3 − 3) + (3 + 3)(2 − 3) 3 + 3 +− 3 3 = = 2 (3 +−3)(3 3) 6 B =⇒=1B 2 2 Thí dụ 8. (Trích đề thi HSG huyện Thạch Hà năm 2016-2017) 2.2016 So sánh 201722−− 1 2016 − 1 và 201722−+ 1 2016 − 1 Lời giải ( 20172−− 1 2016 22 − 1)( 2017 −+ 1 2016 2 − 1) Ta có: 201522−− 1 2014 −= 1 201722−+ 1 2016 − 1 (20152−− 1) (2014 2 − 1) 201722− 2016 (2017− 2016)(2017 + 2016) = = = 201722−+ 1 2016 − 1 2017 22 −+ 1 2016 − 1 2017 22−+ 1 2016 − 1 2017+ 2016 2.2016 = > 201722−+ 1 2016 − 1 2017 22 −+ 1 2016 − 1 2.2016 Vậy 201722−− 1 2016 − 1 > 201722−+ 1 2016 − 1 Thí dụ 9. Rút gọn các biểu thức: TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8. 7 a) A= 5 −− 3 29 − 12 5 b) B=33 70− 4901 + 70 + 4901 Lời giải 2 a) A= 5 −− 3 29 − 12 5 = 5 −− 3() 2 5 − 3 =5 −() 51 −= 1 33 b) Đặt x0 =− 70 4901 ++ 70 4901 3 3 33 ⇒=x 70 − 4901 + 70 + 4901 0  33 3 3 =−70 4901 ++ 70 4901 + 3 70 − 4901. 70 + 4901 70 − 4901 + 70 + 4901  =140 + 3x Khi đó ta có: 32 x00+ 3x − 140 =⇔− 0() x0 5( x ++ 5x 28) = 0 2 Mà x00+ 5x + 28 > 0() do ∆< 0 ⇒ x0 = 5 Vậy B = 5. 2++++ 3 6 84 Thí dụ 10. Rút gọn biểu thức: P = 234++ Lời giải Ta có: 2++++ 3 6 84 ( 232468+++++) ( ) P = = 234++ 2++34 ( 234++) +( 468 ++) ( 234 ++) + 2234( ++) = = 234++ 2++34 =12 +  Dạng 2: Dùng ẩn phụ đơn giản hóa bài toán 1 7 − 2 67 Thí dụ 1. Rút gọn biểu thức: A7= −−4 7 + + . 4 4 7 4 1 1 343 7 − 4 + 77 7 7 Lời giải Đặt a=4 7a7 ⇒=4 và a72 = ta có: TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9. 8 2 1 a − 22 2 2 6 7 1−+ 2a 13a 7 = −−a + + = + Aa 3 32 aa1 2 1 a a (a+ 1) a − aa+ a a a42+− a 2a 6 − 2a 4 + 13a 24 + a 2a 2 (7 − a 4 ) = = =0() Do a4 = 7 a32 (a++ 1) a32 (a 1) 2 Thí dụ 2. Rút gọn biểu thức: B.= 4−− 3444 5 2 25 − 125 Lời giải Đặt b=4 5 ⇒= b2 44 25,b 3 = 125,b4 = 5,b 6 = 5b 25 ,b = 5b. 2 Ta có: B = 4−+ 3b 2b23 − 3b 1 1 (b32++ 3b) (2b + 4) Mặt khác: = = b3−+− 2b 2 3b 4 (b3 +−+ 3b) (2b 2 4) (b 3 +−+ 3b) 2 (2b 22 4) b3+++ 3b 2b 2 4 (b 32 +++ 2b 3b 4)(b 2 − 3) b 542 +−−− 2b 2b 9b 12 ==−= −−2b6242(b9)− 8 2 −b2 − 2b − 1  b + 1 = = −. 42 2 2 44 Vậy B2= = = . b1++ b1 4 51+ 21 2 1++ 444−+ 21 2 2 2 Thí dụ 3. Rút gọn biểu thức: E.= +− 44 12−+ 2 12 Lời giải Đặt 442a=⇒= a42 2,4a == 2 Ta có: 21 1++ 2 a22−+ a 1a 24 1+a2 1a+2 1 1 = + −aa =−+ − = − = E 2  a022 1a− a 1a+ a a1a22()+ a a Vậy E = 0  Dạng 3: Các bài toán về tính tổng dãy có quy luật Thí dụ 1. Rút gọn: 11 1 1 S = + ++.... + 2 1++ 1 2 3 2 2 3 1999 1998 + 1998 1999 2000 1999+ 1999 2000 Lời giải TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10. 9 Với k∈≥ N,k 1: 1 ()k1+ kkk1 −+() k1 + kkk1 −+11 = = = − 2 .1() ()k1+ kkk1 ++()()k1.kkk1+−+2 kk()+ 1 k k1+ Áp dụng (1) với k = 1, 2, 3,....., 1999 ta được 1 11 = − ; 21+ 12 1 2 1 11 = − ; 32+ 23 2 3 −−−−−−−−−−−−− 1 11 = − . 2000 1999+ 1999 2000 1999 2000 Cộng các đẳng thức trên theo vế ta được: 11 1 1 S = + ++.... + 2 1++ 1 2 3 2 2 3 1999 1998 + 1998 1999 2000 1999+ 1999 2000 1111 1 1 = − + − ++..... − 1 2 2 3 1999 2000 11 = − 1 2000 2000− 1 = 2000 20 5− 1 = 20 5 Thí dụ 2. Rút gọn: 111 111 1 1 1 1 1 1 A =++++++++.... + ++ + . 1222222222222 2 3 1 3 4 1 1998 1999 1 1999 2000 Lời giải ∈≥ Với k N,k 2 : 2 11 1 1 2 2 2 +−=+++− − 1122 k1−− k ()k1− k k1()k− 1k k 1 1 2 2 22 =+ + + − +− 1 22 ()k1− k k1−− k1 k k 2 1 1 11 ⇒+ + = + − 1122 ()k1− k k1− k 1 1 11 ⇒+ + =+ − 122 11() ()k1− k k1− k TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11. 10 Áp dụng (1) với k = 1, 2, 3,....., 2000 ta được 11  11   1 1 1 1 A=+−++−+++ 1  1  ...  1 − ++1 − . 2 3  3 4   1998 1999 1999 2000  11 =1998 +− 2 2000 Thí dụ 3. Rút gọn các biểu thức 111 1 A ... ; 1223 34 nn 1 Lời giải Ta có: 1 21 21 12 2 1 21 1 32 32 23 2 33 2 11nn nn 1 nn 1 nn 11 nn Do đó: 111 1 A ... 2 1 3 2 .... nn 1 n 1 1223 34 nn 1 Thí dụ 4. 11 1 a) Chứng minh rằng: + ++.... >4 . 1++ 2 3 4 79 + 80 111 1 1 b) Chứng minh rằng: ++++... >−2 1 . 12 23 34nn++ 1 n 1 1111 1 c) Chứng minh: 2nn−<+++++< 2 ... 2 − 1 với mọi số nguyên 1234 n dương n ≥ 2 . Lời giải 11 1 11 1 a) Xét A = + ++.... , B = + ++.. 1++ 2 3 4 79 + 80 2++ 3 4 5 80 + 81 Dễ thấy AB> . 111 1 1 Ta có AB+=+++++.... 1+++ 2 2 3 3 4 79 + 80 80 + 81 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12. 11 1 ()kk+−1 Mặt khác ta có: = =kk +−1 kk++1 ()k++11 kk() +− k Suy ra AB+ =()2 − 1 +() 3 − 2 + ... +() 81 − 80 = 81 −= 1 8 . Do AB> suy ra 2A>+=⇔> AB 84 A . 11 1 1 b) Để ý rằng: −= < với mọi k nguyên dương. k k++1kk(+ 1)() k ++ 1 k 21kk 1 11   1 1  1  Suy ra VT >21 − + 2 −  ++..2  −  =21 − . 2 23  nn++1  n 1  1111 1 c) Đặt P =+++++... 1234 n 2 12 2 Ta có: <= < với mọi số tự nhiên n ≥ 2 . nn++12 n n nn+− 1 222 Từ đó suy ra 21()n+− n = < < =2()nn − − 1 hay n++12 n n nn+ − 1 2 21()n+− n < < 2() nn − − 1 n Do đó: −+−+++−< và 2() 2 1() 3 2 ...()n 1 nT <+ − + − + − − . T1 2() 2 1() 3 2 ....()nn 1 Hay 22nTn−< < 21 −. Thí dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 , ta có: 14710 3nn−+ 23 1 1 . . . .... . < . 3 6 9 12 3nn 3+ 3 31n + Lời giải Để ý rằng các phân số có tử và mẫu hơn kém nhau 2 đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức nn−1 14710 3nn−+ 23 1 ) . Kí hiệu P = . . . .... . . Ta có: nn+ 2 3 6 9 12 3nn 3+ 3 2 147103nn−+ 23 1 147103nn−+ 23 1 P = . . . ... . . . . ... . 3691233336912333nn++nn TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13. 12 136 9 3n− 3 3 n 147103 nn−+ 23 1 <  . . . ... . . . . ... .  3 4 7 10 3n−+ 2 3 n 1 3 6 9 12 3nn 3+ 3  11367 9 3n−− 33 n 2 3 nn 3 + 1 11 < ..... ... . . . = = . 3 3 4 7 9 10 3n− 2 3 nn 3 ++ 1 3 n 3 33()nn++ 3 9() 1 1 Từ đây suy ra P < . Bất đẳng thức được chứng minh. 31n +  Dạng 4: Bài toán rút gọn biểu thức chứa một hay nhiều ẩn 21 2 1++ a−+4 a1 a a a Thí dụ 1. Rút gọn: B = + − ()a>≠ 0,a 1 . 44 1a−+ a 1a Lời giải Đặt t=4 a() t >⇒ 0 a = t24 ,a = t 21 2 1++ t22−+ t 1t 24 =+−tt Khi đó: B 2 1t− t 1t+ 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 tt()− 1 11t 2 = ++ − =−++ −t t 22tt 1t− t 1t++t 1t 1 t12 + 11 =−=− t2tt22()+ 1 tt22 = 0 Thí dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2012-2013) 2 Rút gọn biểu thức: A = x−− 50 x + 50 x + x− 50 với x ≥ 50  Lời giải Ta có : 2 222 2 2 A = x - 50 - x + 50 x + x -50⇒ A = x - 50 + x + 50 - 2 x -50 x + x -50 ( ) ( )( ) ⇒⇒A2 =( 2x - 2 x2 -50)( x + x2 -50) A2 = 2() x 22 - x + 50 Vậy: A2 = 100 2 Nhưng do theo giả thiết ta thấy A = x - 50 - x + 50 x + x -50 < 0  ⇒ A= -10 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14. 13 Thí dụ 3. (Trích đề thi HSG Hải Dương năm 2013-2014) 1−− 1 x23 .( (1 + x) + (1 − x) 3) Rút gọn biểu thức A = với −≤1x1 ≤. 2−− 1x2 Lời giải 1−− 1x.1x22( ++− 1x)( 2 −− 1x) Ta có: A = 2−− 1x2 =1 − 1x.1x −2 ( ++ 1x −) 2 =−−(1 1x2)( 1x ++−=−− 1x) ( 1 1x22)( 221x +−) = 2x2 = x2 Thí dụ 4. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017) 2 Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn (a22+− b 2ab)() + +(1−=− ab)2 4ab Chứng minh 1+ ab là số hữu tỉ Lời giải Ta có: 22 (GT)⇒ a + b − 2(ab + 1) (a + b)2 ++ 1 ab = 0 () () 4 ⇔+−+()a b 2(a b)22 (1 +++= ab) (1 ab) 0 2 2 ⇔a + b −+ (1 ab) =⇒+ 0 (a b)2 -(1 + ab)=0 () ⇔(a + b)2 =+ 1 ab ⇔+= a b 1 + ab ∈ Q; do: a;b ∈ Q Thí dụ 5. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017) aa− bb a b Cho biểu thức M= −− với a, b > 0 và a ≠ b ab− ab+− ba Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 1− a 1 −+ b 2 ab = 1 ()() Lời giải ab Rút gọn M= với a, b > 0 và a ≠ b ab− Ta có ()()1−−+=⇔−−++= a 1 b 2 ab 1 ab a b 1 2 ab 1 2 2 ab ab ⇔= − ⇔ =⇔ = ab() a b 1 1 ab−− ab TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15. 14 + Nếu a > b > 0 ab ⇒a > b ⇒ a − b0;ab0 > >⇒ > 0 ab− ab ab ab ⇒ = ⇒ =⇒=1 M1 ab−− ab ab − + nếu 0 < a < b ab ⇒a ⇒ 0 <0 ab− ab−− ab ab ⇒ = ⇒ =⇒=−1M 1 ab−− ab ab −  Dạng 4: Bài toán rút gọn biểu thức và bài toán liên quan Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử. Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu. Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn.  Dạng 1. Tính giá trị biểu thức P khi cho x = k (k là hằng số) Phương pháp: - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức P và rút gọn k nếu cũng là một biểu thức chứa căn phức tạp - Bước 3: Thay giá trị x = k vào biểu thức đã rút gọn rồi tính ra kết quả. Ví dụ minh họa: 1x x Thí dụ 1. Cho biểu thức: P:= + , với x > 0. x x1++ x x a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của P khi x = 4. Lời giải a) Điều kiện: x0> 1 x x ()x1++ xxx+xx1 ++ P:=+== . x x1++ x x x() x1+ x x b) Ta có khi x = 4 thì: x++++++ x14 414217 P = = = = x422 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16. 15 Thí dụ 2. (Trích đề thi HSG huyện lớp 9 năm 2013-2014) xy+− xyx++ y 2xy Cho biểu thức: P=++:1. − 1−+ xy 1 xy 1 xy a) Rút gọn biểu thức P. 2 b) Tính giá trị của P với x = . 23+ Lời giải ≥≥ ≠ a) ĐKXĐ: x 0; y 0;xy 1. Mẫu thức chung là 1 – xy ( x+ y)(1 + xy) +− ( x y)(1 − xy) 1− xy +++ x y 2xy P:= 1−− xy 1 xy x++++−−+ xy y yx x xy y yx 1− xy = . 1− xy 1++x y+ xy 2( x+ y x) 2 x(1+ y) 2x = = = (1++ x)(1 y) (1 ++ x)(1 y) 1 + x 2 2(2− 3) b) Ta có: x= = =−3231(31) += − 2 23+ 43− x= (31) −2 = 31 −= 31 − 2( 3−− 1) 2 3 2 P = = = 1+ ( 3 − 1)2 1 +− 3 2 3 + 1 2( 3−+ 1) 6 3 2 P = = 5− 23 13 Thí dụ 3. (Trích đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2011-2012)  x1− x8 + 3x11 −+ 1  Cho biểu thức P = +−  :  3+ x1 − 10− x  x3x11− −− x1 − 1) Rút gọn P 3+− 22 3 22 2) Tính giá trị của P khi x = 44− 3−+ 22 3 22 Lời giải Điều kiện: 1<≠ x 10 3x19−+  1 2x14−+ 1) P= :. 10− x x1− x13 −− TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17. 16 3( x−+ 1 3) x1.x13−() −− P.= 10− x 2x−+ 1 4 3 x− 1(x − 10)( x −− 1 2) 3(x − 2) P = = − 2(10− x)(x −− 1 4) 2(x− 5) 3+− 22 3 22 22 2) x=44 − =44(3 + 22) − (322) − =+ 3 22 −− 3 22 3−+ 22 3 22 => x =1+ 2(21)2 − −= vì x>1 Vậy P = 0  Dạng 2. Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = k (k là hằng số) Phương pháp: - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức P. - Bước 3: - Giải phương trình P – k = 0. - Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận. Ví dụ minh họa: x2 xx 39+ Thí dụ 1. Cho P =+−, với xx≥≠0, 9 . xx+−33x − 9 1) Rút gọn P . 1 2) Tìm giá trị của x để P = . 3 Lời giải xx()−+32 xx() +− 33 x − 9 3 1) P = = ()xx−+33() x + 3 1 31 2) P= ⇔ = ⇒xx +=⇔3 9 = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) 33x + 3 Thí dụ 2. (Trích đề thi HSG Ninh Bình năm học 2012-2013) x2 - x 2x + x 2(x - 1) Cho biểu thức: P = - + (x > 0, x ≠ 1). x + x + 1 x x - 1 1. Rút gọn P. 2. Tìm giá trị của x để P = 3. Lời giải x( x3 − 1) x(2 x + 1) 2( x −+ 1)( x 1) 1/Ta có: P =−+ x++ x1 x x1− TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18. 17 x( x− 1)(x ++ x 1) = −2 x −+ 1 2( x + 1) x++ x1 =−+x x1 2/ Ta có: P = 3 ⇔ x−+ x1 = 3 ⇔ x− x20 −= 2 =−t 1 (L) Đặt x = t, t0≥ ta được pt t−− t20 = ⇔ t= 2 (TM) Ta có t = 2 ta được x = 2 ⇔ x = 4 (thỏa mãn ĐK). Vậy x = 4 thì P = 3. Thí dụ 3. (Trích đề thi HSG tỉnh Hà Nam năm 2012-2013) x y xy Cho biểu thức: P =−− ( x+ y)(1 − y) ( x + y)( x + 1) ( x +− 1)(1 y) 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. Lời giải ≥ ≥ ≠ +≠ 1) Điều kiện : x 0;y 0;y 1;x y 0 . x(1+ x) −− y(1 y ) − xy() x + y (x−+ y)( x x + y y) − xy() x + y P = = ()x+ y1x1y() +−() ()x++− y1x1y()() ()x+ y( x − y +− x xy +− y xy) = ()x++− y1x1y()() xx1()+− yx1() ++ y1x1() +() − x = ()1x1y+−() x− y +− y yx x1y1y()−() +− y1y() − = = ()1y− ()1y− =+−x xy y 2) P = 2 ⇔ x+− xy y = 2 với x≥ 0;y ≥ 0;y ≠ 1;x +≠ y 0 ⇔x1yy11() +−+=⇔−+=() () x11y1() Ta có: 1 + y1≥ ⇒ x11−≤ ⇔≤≤0x4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vào P ta được các cặp giá trị (4;0) và (2;2) thỏa mãn.  Dạng 3. Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = A (A là biểu thức chứa ẩn) Phương pháp: TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19. 18 - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức P. - Bước 3: - Giải phương trình P – A = 0. - Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận. Ví dụ minh họa: xx−+21 1 Thí dụ 1. Cho biểu thức P = + . với x > 0 và x ≠ 1. x+2 xx +− 21 x x +1 a) Chứng minh rằng P = . x b) Tìm các giá trị của x để 22Px= + 5. Lời giải a) Ta có:    x−+2 xx + 1()xx−+1.() 2 x+11 x + P =  ..= = . ++ x−−11 xx xx()22 xx()  x +1 b) Theo câu a) P = x 22x + ⇒225Px = +⇔ = 25x + 2x+= 225 xxxx + ⇔ 23 + −= 20 và x > 0 x 1 11 ⇔()xx +20 − =⇔ xx =⇔=. 2 24  Dạng 4. Tìm giá trị của ẩn đê biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức A > k (≥≤< ; ; k) với k là hằng số. Phương pháp: - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A. - Bước 3: - Giải bất phương trình A– k > 0. - Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận. Ví dụ minh họa: 11 x Thí dụ 1. Cho biểu thức A = −÷ , với x > 0 . xx+ x +1 x ++ 21 x a) Rút gọn biểu thức A . 1 b) Tìm các giá trị của x để A > . 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20. 19 Lời giải a)Với x > 0 , ta có 22 11()xx++211− x ()x+1 A = −⋅ = ⋅ + x++1 x xx( 1) x xx()1 (1−xx )( +− 1) 1 x = = . xx b) Với x > 0 , ta có 11− x 1 2 A>⇔ >⇔−22xx >⇔ 3 x <⇔< 2 x . 22x 3 2 Vậy các giá trị x cần tìm là 0 <<x . 3 4xx−− 21 x Thí dụ 2. Cho biểu thức M =−⋅, với x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4 . 2 x−1 xx −+ 32x a) Rút gọn M . b) Tìm x để M < 4 . Lời giải Điều kiện x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4 . Ta có  4x x−2 x − 141 xx −− 141 x − M = − ⋅=⋅=. xx−−11−− x2 xx22 ()xx12() Ta có x > 0 nên x2 > 0 khi đó 41x − 1 M ⇔ 4x 1 0 (2 x −>⇔≠ 1) 0 x . x2 2 1 Vậy với x > 0 , x ≠ , x ≠ 1, x ≠ 4 thì M < 4 . 2 Thí dụ 2. Cho biểu thức A =3( 3 −+ 3 12 2 27) , +−   xx xx >≠ B =+11  ⋅− vôùi xx0, 1. xx+−11   TÀI LIỆU TOÁN HỌC