Tuyển chọn 50 bài Hình học luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Nguyễn Thị Mai Quỳnh

Nội dung tài liệu: Tuyển chọn 50 bài Hình học luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Nguyễn Thị Mai Quỳnh

1. Tailieumontoan.com  Nguyễn Thị Mai Quỳnh TUYỂN CHỌN 50 BÀI HÌNH HỌC LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Tài liệu sưu tầm
2. 1 Các bài tập hình học 9 50 BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 CÓ ĐÁP ÁN GV: CÔ MAI QUỲNH TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH 9 1. Hệ thức cơ bản trong tam giác vuông Một tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (hình 1) A Ta có: • AB2 = BH. BC và AC2 = CH. BC • AH2 = HB. HC • AH.. BC= AB AC 1 11 = + • 222 B C AH AB AC H Hình 1 AC AB AC AB • sinBBBB= ;cos = ;tan = ;cot = BC BC AB AC • α là góc nhọn thì sin22αα+= cos 1 • αβ, là hai góc nhọn vàαβ+=90o thìsinα= cos βα ;tan= cot β. 2. Đường tròn • Đường kính và dây cung: (hình 2) - Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính - Trong một đường tròn đường kính vuông góc với O một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. - Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung A M B điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. Hình 2 B • Tiếp tuyến của đường tròn (hình 3) - AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C O A C Hình 3
3. 2 Các bài tập hình học 9 AB= AC  AOlà phân giác BAC  OA là phân giác BOC • Vị trí tương đối của hai đường tròn (hình 4) - Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) với Rr≥ Cắt nhau ⇔R −< r OO' < R + r Tiếp xúc ngoài ⇔=+OO' R r Tiếp xúc trong ⇔=−OO' R r O O' O O' O O' Cắt nhau Tiếp xúc ngoài Tiếp xúc trong Hình 4 3. Các loại góc liên quan đến đường tròn Công thức Tên góc Định nghĩa Hình vẽ tính số đo Góc có đỉnh trùng với tâm O Góc ở tâm đường tròn sđ AOB= sđ AmB được gọi là góc B A ở tâm m Góc nội tiếp là A góc có đỉnh nằm trên đường tròn 1 Góc nội tiếp sđBAC = sđ BC và hai chứa hai O 2 dây cung của C B đường tròn đó
4. 3 Các bài tập hình học 9 Góc tạo bởi A tia tiếp 1 sđBAx = sđ AB tuyến và O x 2 dây cung B D m A Góc có đỉnh sđ BnC + sđ Am sđ BEC = ở bên trong O E 2 đường tròn C B n E D Góc có đỉnh A sđ BC − sđ AD sđ BEC = ở bên ngoài C 2 O đường tròn B 4. Công thức tính trong đường tròn Hình vẽ Công thức tính d Độ dài đường tròn O R CR= 2π hay Cd= π A π Rn Độ dài cung tròn O no l l = 180 B
5. 4 Các bài tập hình học 9 2 Diện tích hình tròn O R SR= π π Rn2 lR Diện tích hình quạt S = hay S = quat 360 quat 2 5. Chứng minh một tứ giác nội tiếp • Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). • Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. • Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α thì nội tiếp đường tròn. • Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) thì nội tiếp đường tròn. Điểm đó gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác. • Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
6. 5 Các bài tập hình học 9 50 BÀI TẬP CHỌN LỌC. Câu 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. 1. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp. 2. Tính tích AH. AK theo R. 3. Xác định vị trị của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó? Câu 2. Cho đường tròn (;)OR tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH< R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B (E nằm giữa B và H ). 1. Chứng minh ABE= EAH và ∆∆ABH# EAH. 2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC, đường thẳngCE cắt AB tại K.Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H để AB= R 3. Câu 3. Cho đường tròn ()O có đường kính AB= 2 R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó (E khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn ()O tại điểm thứ hai là K . 1. Chứng minh ∆∆KAF# KEA. 2. Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF vớiOE , chứng minh đường tròn ()I bán kính IE tiếp xúc với đường tròn()O tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F. 3. Chứng minh MN// AB ,trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường tròn (I ). 4. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O ),với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK. Câu 4. Cho (;)OR và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B ,Clà các tiếp điểm). 1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2. Gọi E là giao điểm của BC vàOA . Chứng minh BE vuông góc vớiOA và OE.. OA= R2
7. 6 Các bài tập hình học 9 3. Trên cung nhỏ BC của (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của ()OR; cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4. Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh PM+≥ QN MN . Câu 5. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt BE tại điểm F. 1. Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh DA. DE= DB .. DC 3. Chứng minh CFD = OCB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. C hứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 4. Cho biết DF = R, chứng minh tan AFB = 2 . Câu 6. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N. 1. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh ENI = EBI và MIN = 90o . 3. Chứng minh AM. BN= AI .. BI 4. Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. Câu 7. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1. Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh ACM= ACK 3. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C. 4. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d AP. MB sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và = R. MA Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
8. 7 Các bài tập hình học 9 Câu 8. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O) 1. Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp. 2. Chứng minh AN2 = AB.. AC Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4cm, AN = 6cm. 3. Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh: MT // AC. 4. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đầu bài. Câu 9. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R). (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P. 1. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật. 2. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. 3. Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF 4. Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất. Câu 10. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì nằm trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N. 1. Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh CACB.= CH .. CD 3. Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua trung điểm của DH. 4. Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 11. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C, I khác O). Đường thẳng IA cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE. 1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
9. 8 Các bài tập hình học 9 AB BD 2. Chứng minh = . AE BE 3. Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO, d cắt BC tại điểm K. Chứng minh: HK// DC . 4. Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật Câu 12. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K. 1. Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc cùng một đường tròn.. 2. Chứng minh NB2 = NK.NM. 3. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. 4. Gọi P và Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng. Câu 13. Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1. Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO. 2. Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo CSD . 3. Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC. 4. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định. Câu 14. Cho đường tròn()O ,đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. M là một điểm trên đường tròn(M khác AB, ).Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại PQ,. 1. Chứng minh rằng: Tứ giác APMO nội tiếp. 2. Chứng minh rằng: AP+= BQ PQ. 3. Chứng minh rằng: AP.. BQ= AO2
10. 9 Các bài tập hình học 9 4. Khi điểm M di động trên đường tròn()O ,tìm các vị trí của điểm M sao cho diện tích tứ giác APQB nhỏ nhất. Câu 15. Cho đường tròn ()O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AM, AN với các đường tròn()()O() MN, ∈ O . Qua A vẽ một đường thẳng cắt đường tròn ()O tại hai điểm BC, phân biệt (B nằm giữa AC, ). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC. 1. Chứng minh tứ giác ANHM nội tiếp được trong đường tròn. 2. Chứng minh AN2 = AB.. AC 3. Đường thẳng qua B song song với AN cắt đoạn thẳng MN tại E. Chứng minh EH// NC . Câu 16. Cho đường tròn tâmO bán kính R và một điểm A sao cho OA= 3. R Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (;)OR (,PQ là 2 tiếp điểm). Lấy M thuộc đường tròn (;)OR sao cho PM song song với AQ . Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM với đường tròn()OR;.Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K. 1. Chứng minh tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp và KA2 = KN. KP 2. Kẻ đường kínhQS của đường tròn()OR;.Chứng minh NS là tia phân giác của PNM . 3. GọiG là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK. Tính đội dài đoạn thẳng AG theo bán kính R. Câu 17. Cho tam giác ABC nhọn ()AB< AC nội tiếp đường tròn(O ),hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn()O tại D . 1. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn; 2. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành; 3. Gọi M là trung điểm của BC , tia AM cắt HO tạiG. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác BAC . Câu 18. Cho đường tròn()OR; có đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC= R. QuaC kẻ đường thẳng d vuông góc vớiCA.Lấy điểm M bất kì trên()O không trùng với AB,.Tia BM cắt đường thẳng d tại P. TiaCM cắt đường tròn()O tại điểm thứ hai là N,tia PA cắt đường tròn()O tại điểm thứ hai là Q . 1. Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp; 2. Tính BM. BP theo R. 3. Chứng minh hai đường thẳng PC và NQ song song;
11. 10 Các bài tập hình học 9 4. Chứng minh trọng tâmG của tam giác CMB luôn nằm trên một đường tròn cố định khi M thay đổi trên()O . Câu 19. Cho ∆ABC có ba góc nội tiếp đường tròn (O ),bán kính R. Hạ đường cao AH, BK của tam giác. Các tia AH, BK lần lượt cắt()O tại các điểm thứ hai là DE,. 1. Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó. 2. Chứng minh. HK// DE . 3. Cho ()O và dây AB cố định, điểmC di chuyển trên()O sao cho ∆ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆CHK không đổi. Câu 20. Cho xAy = 90o , vẽ đường tròn tâm A bán kính R. Đường tròn này cắt Ax, Ay thứ tự tại B và D. Các tiếp tuyến với đường tròn()A kẻ từ B và D cắt nhau tạiC. 1. Tứ giác ABCD là hình gì? Chứng minh? 2. Trên BC lấy điểm M tùy ý ( M khác B vàC ) kẻ tiếp tuyến MH với đường tròn()A , (H là tiếp điểm). MH cắt CD tại N. Chứng minh rằng MAN = 450 . 3. PQ; thứ tự là giao điểm của AM; AN với BD. Chứng minh rằng MQ; NP là các đường cao của ∆AMN. Câu 21. Cho ∆<ABC() AB AC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ()OR;.Vẽ đường cao AH của ∆ABC, đường kính AD của đường tròn. Gọi EF, lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD. M là trung điểm của BC. 1. Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp. 2. Chứng minh HE// BD . AB.. AC BC 3. Chứng minh S = ( S là diện tích ∆ABC ). ABC 4R ABC Câu 22. Cho ∆ABC nhọn ()AB< AC ba đường cao AP,, BM CN của ∆ABC cắt nhau tại H. 1. Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp. 2. Chứng minh ∆∆ANM∽ ACB. 3. Kẻ tiếp tuyến BD với đường tròn đường kính AH ( D là tiếp điểm) kẻ tiếp tuyến BE với đường tròn đường kính CH ( E là tiếp điểm). Chứng minh BD= BE. 4. Giả sử AB = 4cm; AC = 5cm; BC = 6cm. Tính MN. Câu 23. Cho nửa đường tròn O đường kính AB = 2 R. Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (M khác A và B) . C là trung điểm của dây cung AM. Đường thẳng d là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại B. Tia AM cắt d tại điểm N . Đường thẳngOC cắt d tại E . 1. Chứng minh: tứ giác OCNB nội tiếp.
12. 11 Các bài tập hình học 9 2. Chứng minh: AC. AN= AO .. AB 3. Chứng minh: NO vuông góc với AE. 4. Tìm vị trí điểm M sao cho ()2.AM+ AN nhỏ nhất. Câu 24. Cho đường tròn tâmO bán kính R và đường thẳng()d không đi qua O, cắt đường tròn ()O tại 2 điểm AB,. Lấy điểm M bất kỳ trên tia đối BA, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (CD, là các tiếp điểm). 1. Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp đường tròn. 2. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh HM là phân giác của CHD . 3. Đường thẳng đi quaO và vuông góc với MO cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại PQ,. Tìm vị trí của điểm M trên ()d sao cho diện tích ∆MPQ nhỏ nhất. Câu 25. Cho ∆ABC có ba góc đều nhọn, hai đường cao BD vàCE cắt nhau tại H ( D thuộc AC; E thuộc AB). 1. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn; 2. Gọi MI, lần lượt là trung điểm của AH và BC. Chứng minh MI vuông góc với ED. Câu 26. Cho ∆ABC có ba góc đều nhọn()AB< AC nội tiếp trong đường tròn tâm O, kẻ đường cao AH. Gọi MN, là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Kẻ NE vuông góc với AH. Đường vuông góc với AC tạiC cắt đường tròn tại I và cắt tia AH tại D. Tia AH cắt đường tròn tại F . 1. Chứng minh ABC+= ACB BIC và tứ giác DENC nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh hệ thức AM.. AB= AN AC và tứ giác BFIC là hình thang cân. 3. Chứng minh: tứ giác BMED nội tiếp được trong một đường tròn. Câu 27. Cho nửa đường tròn()O đường kính AB. GọiC là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB (C khácO và B) . Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa đường tròn ()O tại điểm M.Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ (N khác M và B) , tia AN cắt đường thẳng d tại điểm F, tia BN cắt đường thẳng d tại điểm E.Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn ()O tại điểm D ( D khác A ). 1. Chứng minh: AD. AE= AC .. AB 2. Chứng minh: Ba điểm BFD,, thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp ∆CDN. 3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AEF.Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm N di chuyển trên cung nhỏ MB .
13. 12 Các bài tập hình học 9 Câu 28. Cho ∆ABC nhọn()AB< AC nội tiếp (O ), vẽ đường kính AD.Đường thẳng đi qua B vuông góc với AD tại E và cắt AC tại F. Gọi H là hình chiếu của B trên AC và M là trung điểm của BC. 1. Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh MHC += BAD 90o . HC BC 3. Chứng minh +=1. HF HE Câu 29. Cho ∆ABC nhọn. Đường tròn tâmO đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm M,, N( M≠≠ BN C) . Gọi H là giao điểm của BN vàCM; P là giao điểm của AH và BC . 1. Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh BM. BA= BP .. BC 3. Trong trường hợp đặc biệt khi ∆ABC đều cạnh bằng 2a . Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo a. 4. Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AE và AF của đường tròn tâmO đường kính BC ( EF, là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm EHF,,thẳng hàng. Câu 30. Cho ∆ABC đều có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với BCH, , ). Gọi PQ, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC . 1. Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp được đường tròn và xác định tâm O của đường tròn này. 2. Chứng minh OH⊥ PQ. 3. Chứng minh MP+= MQ AH . Câu 31. Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ()O có bán kính R = 3cm. Các tiếp tuyến với()O tại B và C cắt nhau tại D . 1. Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn; 2. Gọi M là giao điểm của BC vàOD. Biết OD = 5(cm). Tính diện tích ∆BCD 3. Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với ()O tại Ad, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại PQ,. Chứng minh AB. AP= AQ .. AC 4. Chứng minh PAD = MAC . Câu 32. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M thuộc cung AC (MA≠ ; C) . Hạ MH⊥ AB tại H. Nối MB cắt CA tại E. Hạ EI⊥ AB tại I. Gọi K là giao điểm của AC và MH. Chứng minh:
14. 13 Các bài tập hình học 9 1. BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp. 2. AK. AC= AM 2 . 3. AE.. AC+ BE BM không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4. Khi M chuyển động trên cung AC thì đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC đi qua hai điểm cố định. Câu 33. Cho đường tròn(O; R)và điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d⊥ OA tại A. Trên d lấy điểm M. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. 1. Chứng minh ABHM là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh OAOB..= OH OM = R2 . 3. Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d. 4. Tìm vị trí của M để diện tích ∆HBO lớn nhất. Câu 34. Cho (O; R) và điểm A thuộc đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm H sao cho AH < R. Dựng đường thẳng d⊥ Ax tại H. Đường thẳng d cắt đường tròn tại E và B (E nằm giữa H và B). 1. Chứng minh ∆∆ABH # EAH. 2. Lấy điểm C thuộc Ax sao cho H là trung điểm AC. Nối CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Tìm vị trí của H trên Ax sao cho AB= R 3. Câu 35. Cho ∆ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M , dựng đường tròn tâm()O có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm()O tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm()O tại S 1. Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc BCS . 2. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn()O . Chứng minh các đường thẳng BA,, EM CD đồng quy. 3. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Câu 36. Cho đường tròn()OR; , đường kính AB. Điểm H thuộc đoạn OA. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H.Vẽ đường tròn()O1 đường kính AH và đường tròn()O2 đường kính BH . Nối AC cắt đường tròn()O1 tại N. Nối BC cắt đường tròn()O2 tại M.Đường thẳng MN cắt đường tròn()OR; tại E và F. 1. Chứng minh CMHN là hình chữ nhật.
15. 14 Các bài tập hình học 9 2. Cho AH = 4 cm, BH = 9cm. Tính MN. 3. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ()O1 và ()O2 . 4. Chứng minh CE= CF = CH. Câu 37. Cho đường tròn()OR; có hai đường kính vuông góc AB và CD. Gọi I là trung điểm của OB. Tia CI cắt đường tròn (O; R) tại E. Nối AE cắt CD tại H; nối BD cắt AE tại K. 1. Chứng minh tứ giác OIED nội tiếp. 2. Chứng minh AH. AE= 2. R2 3. Tính tan BAE . 4. Chứng minh OK vuông góc với BD. Câu 38. Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AD. Điểm H thuộc đoạn OD. Kẻ dây BC⊥ AD tại H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻCK⊥ AM tại K. Đường thẳng BM cắt CK tại N. 1. Chứng minh AH.. AD= AB2 2. Chứng minh tam giác CAN cân tại A. 3. Giả sử H là trung điểm của OD. Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy là HD, đường cao BH. 4. Tìm vị trí của M để diện tích tam giác ABN lớn nhất. Câu 39. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn ()AC≤ AB . Dựng về phía ngoài ∆ABC một hình vuông ACED. Tia EA cắt nửa đường tròn tại F. Nối BF cắt ED tại K. 1. Chứng minh rằng 4 điểm B, C, D, K thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh AB= EK. 3. Cho ABC=30o ; BC = 10 cm . Tính diện tích hình viên phần giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC. 4. Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác ∆ABC lớn nhất. Câu 40. Cho đường tròn (O;R) đường kính AC cố định. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn tại B (B khác A). Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt AB tại D. Nối OM cắt AB tại I, cắt cung nhỏ AB tại E. 1. Chứng minh OIDC là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh tích AB.AD không đổi khi M di chuyển trên Ax. 3. Tìm vị trí điểm M trên Ax để AOBE là hình thoi.
16. 15 Các bài tập hình học 9 4. Chứng minh OD⊥ MC. Câu 41. Cho đường tròn()OR; đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn. Gọi M và N là điểm chính giữa các cung nhỏ AC và BC. Nối MN cắt AC tại I. Hạ ND⊥ AC. Gọi E là trung điểm BC. Dựng hình bình hành ADEF. 1. Tính MIC . 2. Chứng minh DN là tiếp tuyến của đường tròn ()OR;. 3. Chứng minh rằng F thuộc đường tròn ()OR;. 4. Cho CAB =30o ; R = 30 cm . Tính thể tích hình tạo thành khi cho ∆ABC quay một vòng quanh AB. Câu 42. Cho đường tròn ()OR; với dây AB cố định. Gọi I là điểm chính giữa cung lớn AB. Điểm M thuộc cung nhỏ IB. Hạ AH⊥ IM; AH cắt BM tại C. 1. Chứng minh ∆IAB và ∆MAC là tam giác cân. 2. Chứng minh C thuộc một đường tròn cố định khi M chuyển động trên cung nhỏ IB. 3. Tìm vị trí của M để chu vi ∆MAC lớn nhất. Câu 43. Cho đường tròn()OR; đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm K() AK≥ R . Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O). Đường thẳng d⊥ AB tại O, d cắt MB tại E. 1. Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp; 2. OK cắt AM tại I. Chứng minh OI.OK không đổi khi K chuyển động trên Ax; 3. Chứng minh KAOE là hình chữ nhật; 4. Gọi H là trực tâm của ∆KMA. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên Ax thì H thuộc một đường tròn cố định. Câu 44. Cho đường tròn (O) đường kính AB= 2. R Gọi C là trung điểm của OA. Dây MN⊥ AB tại C. Trên cung MB nhỏ lấy điểm K. Nối AK cắt NM tại H. 1. Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh tích AH. AK không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ MB. 3. Chứng minh ∆BMN là tam giác đều. 4. Tìm vị trí điểm K để tổng KM++ KN KB lớn nhất. Câu 45. Cho đường tròn()OR; và điểm A ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B và C là 2 tiếp điểm). I là một điểm thuộc đoạn BC() IB< IC . Kẻ đường thẳng d⊥ OI tại I. Đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
17. 16 Các bài tập hình học 9 1. Chứng minh OIBE và OIFC là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh I là trung điểm EF. 3. K là một điểm trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại K cắt AB; AC tại M và N. Tính chu vi ∆AMN nếuOA= 2 R . 4. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AC tại P và Q . Tìm vị trí của A để SAPQ nhỏ nhất. Câu 46. Cho 2 đường tròn()O và ()O' cắt nhau tại hai điểm AB, phân biệt. Đường thẳng OA cắt ()()OO;'lần lượt tại điểm thứ haiCD,. Đường thẳng OA' cắt ()()OO;' lần lượt tại điểm thứ hai EF, . 1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. 2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của ()O và()()()O'( P∈∈ OQ ,' O). Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ . Câu 47. Cho hai đường tròn ()OR; và()OR'; ' với RR> ' cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung DE của hai đường tròn với DO∈()và EO∈()' sao cho B gần tiếp tuyến đó hơn so với A. 1. Chứng minh rằng DAB = BDE . 2. Tia AB cắt DE tại M . Chứng minh M là trung điểm của DE. 3. Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng minh rằng PQ song song với AB. Câu 48. Cho đường trong ()OR; và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm AB,.Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (CD, là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB ; 1. Chứng minh rằng các điểm M,,, DOHcùng nằm trên một đường tròn. 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD . 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q . Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất. Câu 49. Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ()OR;. Ba đường cao AD;; BE CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm BC, vẽ đường kính AK . 1. Chứng minh ba điểm HIK,, thẳng hàng.
18. 17 Các bài tập hình học 9 2. Chứng minh DA. DH= DB .. DC 02 3. Cho BAC=60 ; SABC = 20 cm .Tính SABC . 4. Cho BC cố định; A chuyển động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC có ba góc nhọn. Chứng minh điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định. Câu 50. Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính vuông góc là AB và CD. Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH⊥ AB tại H. Nối AC cắt HK tại I, tia BC cắt HK tại E; nối AE cắt đường tròn (O;R) tại F. 1. Chứng minh BHFE là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh EC.EB = EF.EA. 3. Cho H là trung điểm OA. Tính theo R diện tích ∆CEF. 4. Cho K di chuyển trên cung nhỏ AC. Chứng minh đường thẳng FH luôn đi qua một điểm cố định. LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. 4. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp. 5. Tính tích AH. AK theo R. 6. Xác định vị trị của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó? Giải: 1. Chứng minh tứ giác BHCK nội tiếp. M MN⊥ AC AKB =90 ° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) K ⇒=°HCB 90 Xét tứ giác BCHK có: H D HCB + AKB =90 °+ 90 °= 180 °mà 2 góc ở vị trí B đối nhau A C O ⇒ Tứ giác BCHK nội tiếp. 2. Tính AH. AK theo R. N
19. 18 Các bài tập hình học 9 Xét tam giác ∆ACH và ∆AKB có: ACH= AKB =90 °  ⇒∆ACH# ∆ AKB(.) g g A chung  AC AH ⇒= ⇒=AH.. AK AC AB AK AB 1 R2 Mà AC= R và AB= 2 R ⇒=⋅AH. AK 4 2 3. Xác định vị trí của K để (KM++ KN KB) max * Chứng minh ∆BMN đều: ∆AOM cân tại M (MC vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến) Mà OA= OM = R ⇒∆AOM đều⇒=°MOA 60 MC= CN ∆MBN cân tại B vì  BC⊥ MN ⇒=CM CN 1 Mặt khác: MBA = MOA =30 ° (góc nội tiếp chắn cung MA ) ⇒=°MBN 60 2 ∆MBN cân tại B lại có MBN =60 ° nên ∆MBN là tam giác đều * Chứng minh KM+= KB KN Trên cạnh NK lấy điểm D sao cho KD= KB. 1 ⇒∆KDB là tam giác cân mà NKB = sđ NB = 60° 2 ⇒∆KDB là tam giác đều ⇒ KB= BD. Ta có: DMB = KMB (góc nội tiếp chắn cung AB ) BDN =120 ° (kề bù với KBD trong ∆KDB đều) MKB =120 ° (góc nội tiếp chắn cung 240°) ⇒=MBK DBN (tổng các góc trong tam giác bằng180° ) Xét ∆BDN và ∆BKM có: BK= BD() cmt   BDN = BKM () cmt ⇒∆ BDN=∆ BKN( c.g.c) =  MB MN  ⇒=ND MK (2 cạnh tương ứng) ⇒KM ++= KN KB2 KN ⇒(KM ++ KN KB) max = 4R khi KN là đường kính ⇒ KON,, thẳng hàng
20. 19 Các bài tập hình học 9 ⇒ K là điểm chính giữa cung BM. Vậy với K là điểm chính giữa cung BM thì ()KM++ KN KB đạt giá trị max bằng 4R. Câu 2. Cho đường tròn (;)OR tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH< R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B (E nằm giữa B và H ). 4. Chứng minh ABE= EAH và ∆∆ABH# EAH. 5. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC, đường thẳngCE cắt AB tại K.Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 6. Xác định vị trí điểm H để AB= R 3. Giải: 1. Chứng minh: ABE= EAH 1 ABE = sđ EA (t/c góc nội tiếp) 2 1 HAE = sđ EA (t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây C 2 cung) ⇒= ABE HAE E ∆ ∆ B Xét ABH và EAH có: H AHB =90 °   ⇒∆ABH# ∆ EAH(.) g g I ABE= HAE () cmt  K 2. Xét ∆=∆HEC HEA(..) c g c A O ⇒= ACE CAE mà CAE = ABE (cmt) ⇒= ACE ABE Mặt khác: ABE+=° CAK 90 ⇒+=° ACE CAK 90 d ⇒∆AHK vuông tại K Xét tứ giác AHEK có: EHK = AKE =90 ° ⇒+=°EHK AKE 180 mà 2 góc ở vị trí đối nhau ⇒ Tứ giác AHEK nội tiếp. AB R 3 3. HạOI⊥ AB ⇒==AI IB = 22