Hệ thống kiến thức Toán 9 (Kiến thức cơ bản)

Nội dung tài liệu: Hệ thống kiến thức Toán 9 (Kiến thức cơ bản)

1. . HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 9 KIẾN THỨC CƠ BẢN JHSMATH.COM
2. Lời núi đầu CĂc em học sinh lớp 9 thƠn mán! Mong muốn nưm vỳng kián thực vã ToĂn để học khĂ và học giỏi mụn ToĂn là nguyằn vọng cừa nhiãu học sinh. Series Tự học ToĂn 9 này s³ giỳp cĂc em thực hiằn mong muốn đú Series Tự học ToĂn 9 được viát theo tứng bài tương ựng với chương trẳnh và SĂch giĂo khoa ToĂn 9 hiằn hành. Mội bài gồm 4 mục • Kián thực cơ bÊn hằ thống nhỳng kián thực cƯn thiát nhĐt mà cĂc em phÊi nưm vỳng • Sai lƯm cƯn trĂnh lưu ý cĂc em nhỳng lội phờ bián thường mưc phÊi khi học và làm toĂn • CƠu hỏi trưc nghiằm giỳp cĂc em vên dụng lẵ thuyát và tự kiºm tra mực độ nưm kián thực cừa mẳnh • Vẵ dụ minh họa được chọn lọc phự hủp với Chuân kián thực và kĩ nông. TĐt cÊ cĂc em cƯn nưm vỳng nhỳng kián thực nãn múng và nhỳng kĩ nông thiát yáu trong cĂc vẵ dụ cơ bÊn này Tuy nhiản do thời gian cú hÔn nản trong tài liằu này ch¿ trẳnh bày phƯn Kián thực cơ bÊn. Ba phƯn cỏn lÔi cĂc em cú thº xem trực tuyán tÔi Series Tự học ToĂn 9 Ngoài ra cỏn cú cĂc vẵ dụ minh họa ở mực nƠng cao giỳp cĂc em đào sƠu kián thực và r±n luyằn kĩ nông ở mực độ cao hơn Trong series này cĂc vẵ dụ giÊi mău giỳp cĂc em biát cĂch trẳnh bày bài toĂn sao cho ngưn gọn và ró ràng é mởt số vẵ dụ cú nhỳng lưu ý vã phương phĂp giÊi toĂn giỳp cĂc em định hướng suy luên, trau dồi phương phĂp và kinh nghiằm giÊi ToĂn, mở rởng thảm hiºu biát vã bài toĂn Trong phÔm vi cừa series này s³ sỷ dụng kẵ hiằu k để ch¿ song song và kẵ hiằu ∼ để ch¿ đồng dÔng. CĂc kẵ hiằu khĂc sỷ dụng giống như trong sĂch giĂo khoa ToĂn THCS hiằn hành 2
3. Mục lục 1 Côn bêc hai. Côn bêc ba6 1.1 Côn bêc hai...................................6 1.1.1 Côn bêc hai...............................6 1.1.2 Côn bêc hai số học...........................p 6 1.2 Côn bêc hai và hơng đẳng thực A2 = jAj ..................6 1.3 Liản hằ giỳa ph²p nhƠn và ph²p khai phương.................7 1.4 Liản hằ giỳa ph²p chia và ph²p khai phương.................7 1.5 Bián đổi đơn giÊn biºu thực chựa côn bêc hai................7 1.5.1 Đưa thứa số ra ngoài dĐu côn.....................7 1.5.2 Đưa thứa số vào trong dĐu côn....................7 1.5.3 Khỷ mău cừa biºu thực lĐy côn....................7 1.5.4 Trục côn thực ở mău..........................7 1.6 Rỳt gọn biºu thực chựa côn bêc hai......................8 1.7 Côn bêc ba...................................8 2 Hàm số bêc nhĐt9 2.1 Nhưc lÔi và bờ sung cĂc khĂi niằm vã hàm số.................9 2.1.1 KhĂi niằm hàm số...........................9 2.1.2 Đồ thị cừa hàm số...........................9 2.1.3 Hàm số đồng bián, nghịch bián....................9 2.2 Hàm số bêc nhĐt. Đồ thị cừa hàm số y = ax + b với a 6= 0 .........9 2.3 Đường th¯ng và đường th¯ng cưt nhau.................... 10 2.4 Hằ số gúc cừa đường th¯ng y = ax + b với a 6= 0 ............... 10 3 Hằ hai phương trẳnh bêc nhĐt hai ân 11 3.1 Phương trẳnh bêc nhĐt hai ân......................... 11 3.2 Hằ hai phương trẳnh bêc nhĐt hai ân..................... 11 3.3 GiÊi hằ hai phương trẳnh bêc nhĐt hai ân................... 12 3.3.1 GiÊi hằ phương trẳnh bơng phương phĂp thá............. 12 3.3.2 GiÊi hằ phương trẳnh bơng phương cởng đại số............ 12 3.4 GiÊi bài toĂn bơng cĂch lêp hằ phương trẳnh................. 12 4 Hàm số y = ax2 với a 6= 0. Phương trẳnh bêc hai mởt ân 14 4.1 Hàm số y = ax2 với a 6= 0 và đồ thị cừa nú.................. 14 4.2 Phương trẳnh bêc hai mởt ân. Cụng thực nghiằm cừa phương trẳnh bêc hai 15 4.2.1 Định nghĩa............................... 15 4.2.2 GiÊi phương trẳnh bêc hai khuyát................... 15 4.2.3 GiÊi phương trẳnh bêc hai....................... 15 4.3 Hằ thực Vi-²t và ựng dụng........................... 15 4.3.1 Hằ thực Vi-²t.............................. 15 3
4. 4.3.2 Áp dụng hằ thực Vi-²t để tẵnh nhâm nghiằm cừa phương trẳnh bêc hai.................................... 16 4.3.3 Áp dụng hằ thực Vi-²t để xĂc định dĐu cĂc nghiằm cừa phương trẳnh bêc hai.............................. 16 4.3.4 Tẳm hai số biát tờng và tẵch cừa chỳng................ 16 4.4 Phương trẳnh quy vã phương trẳnh bêc hai.................. 16 4.4.1 Phương trẳnh đa thực bêc cao..................... 16 4.4.2 Lưu ý.................................. 16 4.4.3 Phương trẳnh chựa Đn ở mău...................... 17 4.4.4 Phương trẳnh chựa ân trong dĐu côn bêc hai............. 17 4.5 GiÊi bài toĂn bơng cĂch lêp phương trẳnh................... 17 5 Hằ thực lượng trong tam giĂc vuụng 18 5.1 Mởt số hằ thực vã cÔnh và đường cao trong tam giĂc vuụng......... 18 5.2 T¿ số lượng giĂc cừa gúc nhọn......................... 18 5.3 BÊng lượng giĂc và mĂy tẵnh bỏ tỳi...................... 19 5.4 Mởt số hằ thực vã cÔnh và gúc trong tam giĂc vuụng............ 19 5.5 Ứng dụng thực tá cĂc t¿ số lượng giĂc cừa gúc nhọn............. 20 6 Đường trỏn 21 6.1 Sự xĂc định đường trỏn. Tẵnh chĐt đối xựng cừa đường trỏn........ 21 6.2 Đường kẵnh và dƠy cừa đường trỏn...................... 22 6.2.1 So sĂnh độ dài cừa đường kẵnh và dƠy................ 22 6.2.2 Quan hằ vuụng gúc giỳa đường kẵnh và dƠy............. 22 6.3 Liản hằ giỳa dƠy và khoÊng cĂch tứ tƠm đến dƠy............... 22 6.4 Vị trẵ tương đối cừa đường th¯ng và đường trỏn. DĐu hiằu nhên biát tiáp tuyán cừa đường trỏn.............................. 22 6.4.1 Ba vị trẵ tương đối cừa đường th¯ng và đường trỏn......... 22 6.4.2 Định lẵ vã tẵnh chĐt cừa tiáp tuyán.................. 22 6.4.3 DĐu hiằu nhên biát tiáp tuyán..................... 22 6.5 Tẵnh chĐt cừa hai tiáp tuyán cưt nhau.................... 23 6.6 Vị trẵ tương đối cừa hai đường trỏn...................... 23 6.6.1 Ba vị trẵ tương đối cừa hai đường trỏn................ 23 6.6.2 Tẵnh chĐt cừa đường nối tƠm..................... 23 7 Gúc với đường trỏn 24 7.1 Gúc ở tƠm. Số đo cung............................. 24 7.2 Liản hằ giỳa cung và dƠy............................ 25 7.3 Gúc nởi tiáp................................... 25 7.3.1 Định nghĩa............................... 25 7.3.2 Định lẵ.................................. 25 7.3.3 Hằ quÊ.................................. 25 7.4 Gúc tÔo bởi tia tiáp tuyán và dƠy....................... 25 7.4.1 Định lẵ.................................. 25 7.4.2 Hằ quÊ.................................. 25 7.5 Gúc cú đỉnh ở bản trong đường trỏn. Gúc cú đỉnh ở bản ngoài đường trỏn. 26 7.6 Cung chựa gúc................................. 26 7.6.1 Định nghĩa............................... 26 7.6.2 Áp dụng cụng thực vào chựng minh.................. 26 7.6.3 Áp dụng cụng thực cung chựa gúc vào tẳm quỹ tẵch......... 26 4
5. 7.7 Tự giĂc nởi tiáp................................. 26 7.7.1 Định nghĩa............................... 26 7.7.2 Định lẵ.................................. 26 7.7.3 DĐu hiằu nhên biát........................... 26 7.8 Đường trỏn ngoÔi tiáp. Đường trỏn nởi tiáp.................. 27 7.9 Độ dài đường trỏn, cung trỏn......................... 27 7.10 Diằn tẵch hẳnh trỏn. Hẳnh quÔt trỏn...................... 27 8 Hẳnh trụ. Hẳnh nún. Hẳnh cƯu 28 8.1 Hẳnh trụ..................................... 28 8.2 Hẳnh nún..................................... 28 8.3 Hẳnh cƯu..................................... 29 5
6. Chương 1 Côn bêc hai. Côn bêc ba 1.1 Côn bêc hai..............................6 p 1.2 Côn bêc hai và hơng đẳng thực A2 = jAj ............6 1.3 Liản hằ giỳa ph²p nhƠn và ph²p khai phương.........7 1.4 Liản hằ giỳa ph²p chia và ph²p khai phương..........7 1.5 Bián đổi đơn giÊn biºu thực chựa côn bêc hai.........7 1.6 Rỳt gọn biºu thực chựa côn bêc hai...............8 1.7 Côn bêc ba..............................8 1.1 Côn bêc hai 1.1.1 Côn bêc hai • Số x gọi là côn bêc hai cừa số a náu x2 = a • Số 9 cú hai côn bêc hai là 3 và −3. Số 0 cú đỳng mởt côn bêc hai là 0 1.1.2 Côn bêc hai số học p • Cho số a khụng Ơm. Côn bêc hai số học cừa a kẵ hiằu là a là số khụng Ơm mà bẳnh phương cừa nú bơng a p  x ≥ 0 x = a (a ≥ 0) , x2 = a p p • Với a và b khụng Ơm để so sĂnh a và b ta so sĂnh a và b p p a < b , a b p 1.2 Côn bêc hai và hơng đẳng thực A2 = jAj p • Ta cú a2 = jaj tực là p  a náu a ≥ 0 a2 = −a náu a < 0 6
7. p p p p • CƯn phƠn biằt a2 với ( a)2. Khi viát a2 thẳ a cú thº là số Ơm cỏn khi viát ( a)2 thẳ a phÊi là số khụng Ơm p • Điều kiằn xĂc định hay cú nghĩa cừa a là a ≥ 0 • CĂch giÊi cĂc bĐt phương trẳnh dÔng jxj ≤ a và jxj ≥ a với a > 0 như sau  x ≥ a jxj ≤ a , −a ≤ a ≤ a jxj ≥ a , x ≤ −a 1.3 Liản hằ giỳa ph²p nhƠn và ph²p khai phương p p p Với a ≥ 0 và b ≥ 0 ta cú a:b = a: b 1.4 Liản hằ giỳa ph²p chia và ph²p khai phương p ra a Với a ≥ 0 và b > 0 ta cú = p a b 1.5 Bián đổi đơn giÊn biºu thực chựa côn bêc hai 1.5.1 Đưa thứa số ra ngoài dĐu côn p p p  a b náu a ≥ 0 Với b ≥ 0 thẳ a2b = jaj b = p −a b náu a < 0 1.5.2 Đưa thứa số vào trong dĐu côn p p  a2b náu a ≥ 0 Với b ≥ 0 thẳ a b = p − a2b náu a < 0 1.5.3 Khỷ mău cừa biºu thực lĐy côn p ra ra rab ab Với xĂc định ta cú = = b b b2 jbj 1.5.4 Trục côn thực ở mău Ta thường nhƠn tỷ và mău với biºu thực liản hủp cừa mău. Chỳ ý ba dÔng sau Biºu thực đó cho NhƠn cÊ tỷ và mău với a p p b b 1 p p p p a − b a + b 1 p p p p a + b a − b Cú trường hủp sau khi phƠn tẵch tỷ và mău thành nhƠn tỷ. NhƠn tỷ chựa côn thực ở mău cũng là mởt nhƠn tỷ ở tỷ. Khi đú ta trục côn thực ở mău bơng cĂch chia cÊ tỷ và mău cho nhƠn tỷ chung đú 7
8. 1.6 Rỳt gọn biºu thực chựa côn bêc hai Để rỳt gọn được biºu thực chựa côn thực bêc hai ta cƯn chỳ ý đến • Rỳt gọn biºu thực bơng cĂch phƠn tẵch tỷ và mău thành nhƠn tỷ • Sỷ dụng cĂc ph²p bián đổi đơn giÊn côn thực bêc hai để làm xuĐt hiằn nhỳng côn thực đồng dÔng p p p p • Cởng trứ cĂc côn thực đồng dÔng m a + n a − p a = (m + n − p) a 1.7 Côn bêc ba • Côn bêc ba cừa mởt số a là số x sao cho x3 = a p p p • 3 a = x , x3 = a. Ch¯ng hÔn 3 8 = 2; 3 −27 = −3 • Tẵnh chĐt p p – a < b , 3 a < 3 b p p p – 3 ab = 3 a: 3 b p ra 3 a – 3 = p với b 6= 0 b 3 b 8
9. Chương 2 Hàm số bêc nhĐt 2.1 Nhưc lÔi và bờ sung cĂc khĂi niằm vã hàm số.........9 2.2 Hàm số bêc nhĐt. Đồ thị cừa hàm số y = ax + b với a 6= 0 ...9 2.3 Đường th¯ng và đường th¯ng cưt nhau............. 10 2.4 Hằ số gúc cừa đường th¯ng y = ax + b với a 6= 0 ......... 10 2.1 Nhưc lÔi và bờ sung cĂc khĂi niằm vã hàm số 2.1.1 KhĂi niằm hàm số • y được gọi là hàm số cừa x náu với mội giĂ trị cừa x ta luụn xĂc định được ch¿ mởt giĂ trị tương ựng cừa y • Hàm số cú thº được cho bởi bÊng hoặc cụng thực 2.1.2 Đồ thị cừa hàm số Đồ thị cừa hàm số y = f(x) là têp hủp tĐt cÊ cĂc điểm M(x; y) trong mặt ph¯ng tọa độ Oxy thỏa mÂn y = f(x) 2.1.3 Hàm số đồng bián, nghịch bián Cho hàm số y = f(x) xĂc định với mọi giĂ trị cừa x thuởc R • Náu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thẳ hàm số y = f(x) đồng bián trản R • Náu x1 f(x2) thẳ hàm số y = f(x) nghịch bián trản R 2.2 Hàm số bêc nhĐt. Đồ thị cừa hàm số y = ax + b với a =6 0 • Hàm số bêc nhĐt là hàm số được cho bởi cụng thực y = ax + b trong đú a; b là cĂc số cho trước và a 6= 0 • Hàm số bêc nhĐt là hàm số được cho bởi cụng thực y = ax + b với a 6= 0 xĂc định với mọi giĂ trị cừa x thuởc R. Đồng bián trản R khi a > 0 và nghịch bián trản R náu a < 0 9
10. • CĂch v³ đồ thị hàm số y = ax+b với a 6= 0; b 6= 0 – V³ điểm A(0; b) thuởc trục tung  b  – V³ điểm B − ; 0 thuởc trục hoành a – V³ đường th¯ng AB 2.3 Đường th¯ng và đường th¯ng cưt nhau Cho hai đường th¯ng (d) y = ax + b với a 6= 0 (d0) y = a0x + b0 với a0 6= 0 • (d) k (d0) , a = a0vb 6= b0 • (d) trựng (d0) , a = a0vb = b0 • (d) cưt (d0) , a 6= a0 2.4 Hằ số gúc cừa đường th¯ng y = ax + b với a =6 0 • Đường th¯ng y = ax + b với a 6= 0 cú hằ số gúc là a • Hai đường th¯ng phƠn biằt náu song song với nhau thẳ cú hằ số gúc bơng nhau và ngược lÔi • Đường th¯ng y = ax + b với a 6= 0 tÔo với tia Ox mởt gúc α – Náu a > 0 thẳ α < 90 và a = tan α – Náu α 90o và −a = tan α0 trong đú α0 = 180o − α 10
11. Chương 3 Hằ hai phương trẳnh bêc nhĐt hai ân 3.1 Phương trẳnh bêc nhĐt hai ân................... 11 3.2 Hằ hai phương trẳnh bêc nhĐt hai ân............... 11 3.3 GiÊi hằ hai phương trẳnh bêc nhĐt hai ân............ 12 3.4 GiÊi bài toĂn bơng cĂch lêp hằ phương trẳnh.......... 12 3.1 Phương trẳnh bêc nhĐt hai ân • Phương trẳnh bêc nhĐt hai ân x và y là hằ thực dÔng ax + by = c. Trong đú a; b; c là nhỳng số đó biát và a 6= 0 hoặc b 6= 0 tực là a và b khụng đồng thời bơng 0 • Nghiằm cừa phương trẳnh bêc nhĐt hai ân là cặp giĂ trị (x; y) cừa hai ân thỏa mÂn phương trẳnh • Têp nghiằm cừa phương trẳnh ax + by = c biºu diạn trản mặt ph¯ng tọa độ là mởt đường th¯ng a c – Náu a 6= 0; b 6= 0 thẳ đường th¯ng đú là đồ thị cừa hàm số bêc nhĐt y = − x+ b b c – Náu a = 0; b 6= 0 thẳ đường th¯ng đú là đồ thị cừa hàm số bêc nhĐt y = đú b là đường th¯ng vuụng gúc với trục tung c – Náu a 6= 0; b 6= 0 thẳ đường th¯ng đú là đồ thị cừa hàm số bêc nhĐt y = đú a c là đường th¯ng vuụng gúc với trục hoành. Chỳ ý rơng x = khụng phÊi là a hàm số 3.2 Hằ hai phương trẳnh bêc nhĐt hai ân • Hằ hai phương trẳnh bêc nhĐt hai ân gồm hai phương trẳnh bêc nhĐt hai ân  ax + by = c (I) a0x + b0y = c0 Nghiằm cừa hằ phương trẳnh là cặp số (x0; y0) nghiằm đỳng cÊ hai phương trẳnh cừa hằ 11
12. • Số nghiằm cừa hằ (I) là số điểm chung cừa hai đường th¯ng ax + by = c (d) a0x + b0y = c0 (d0) Hằ phương trẳnh (I) cú thº cú nghiằm duy nhĐt hoặc cú vụ số nghiằm hoặc vụ nghiằm • Trong hằ (I) khi cĂc hằ số a0; b0; c0 đều khĂc 0 ta cú a b – Hằ cú nghiằm duy nhĐt , (d) cưt (d0) , 6= a0 b0 a b c – Hằ cú vụ số nghiằm , (d) trựng (d0) , = = a0 b0 c0 a b c – Hằ vụ nghiằm , (d) song song (d0) , = 6= a0 b0 c0 a b Trong trường hủp cĂc hằ số a0; b0 cú thº bơng 0 thẳ điều kiằn 6= được thay bơng a0 b0 a b ab0 6= a0b. Điều kiằn = được thay bơng ab0 = a0b a0 b0 • Hằ hai phương trẳnh được gọi là tương đương náu chỳng cú cựng têp nghiằm 3.3 GiÊi hằ hai phương trẳnh bêc nhĐt hai ân 3.3.1 GiÊi hằ phương trẳnh bơng phương phĂp thá • Biºu thị mởt ân ch¯ng hÔn x theo ân kia tứ mởt phương trẳnh • Thá biºu thực cừa x vào phương trẳnh kia rồi tẳm giĂ trị cừa y • Thay giĂ trị tẳm được cừa y vào biºu thực cừa x để tẳm giĂ trị cừa x. Nghiằm cừa hằ phương trẳnh là cặp số (x; y) vứa tẳm được 3.3.2 GiÊi hằ phương trẳnh bơng phương cởng đÔi số • Bián đổi để cĂc hằ số cừa mởt ân ch¯ng hÔn x cú giĂ trị tuyằt đối bơng nhau • Cởng hoặc trứ tứng vá cừa hai phương trẳnh để khỷ ân x • GiÊi phương trẳnh để tẳm giĂ trị cừa y • Thay giĂ trị đú cừa y vào mởt phương trẳnh để tẳm giĂ trị cừa x. Nghiằm cừa hằ phương trẳnh là cặp số (x; y) vứa tẳm được 3.4 GiÊi bài toĂn bơng cĂch lêp hằ phương trẳnh CĂc bước giÊi bài toĂn bơng cĂch lêp hằ phương trẳnh bêc nhĐt hai ân Bước 1 Lêp hằ phương trẳnh • Chọn hai đại lượng chưa biát làm ân. Ghi ró đơn vị và điều kiằn cừa ân 12
13. • Biºu thị cĂc đại lượng chưa biát khĂc theo cĂc ân • Lêp hằ hai phương trẳnh diạn đạt sự tương quan giỳa cĂc đại lưủng Bước 2 GiÊi hằ phương trẳnh Bước 3 Nhên định kát quÊ tực là đối chiáu với điều kiằn và trÊ lời 13
14. Chương 4 Hàm số y = ax2 với a =6 0. Phương trẳnh bêc hai mởt ân 4.1 Hàm số y = ax2 với a 6= 0 và đồ thị cừa nú............ 14 4.2 Phương trẳnh bêc hai mởt ân. Cụng thực nghiằm cừa phương trẳnh bêc hai............................. 15 4.3 Hằ thực Vi-²t và ựng dụng..................... 15 4.4 Phương trẳnh quy vã phương trẳnh bêc hai........... 16 4.5 GiÊi bài toĂn bơng cĂch lêp phương trẳnh............ 17 4.1 Hàm số y = ax2 với a =6 0 và đồ thị cừa nú • Hàm số y = ax2 với a 6= 0 xĂc định với mọi giĂ trị cừa x thuởc R. Hàm số đú cú cĂc tẵnh chĐt sau – Náu a > 0 thẳ hàm số nghịch bián khi x 0. Với mọi x 6= 0 thẳ y > 0 với x = 0 thẳ y = 0. GiĂ trị nhỏ nhĐt cừa hàm số là y = 0 – Náu a 0. Với mọi x 6= 0 thẳ y < 0 với x = 0 thẳ y = 0. GiĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số là y = 0 • Đồ thị cừa hàm số y = ax2 với a 6= 0 là mởt đường cong đi qua gốc tọa độ và nhên trục Oy làm trục đối xựng. Đường cong đú được gọi là mởt parabol với đỉnh O – Náu a > 0 thẳ đồ thị nơm phẵa trản trục hoành O là điểm thĐp nhĐt cừa đồ thị 14
15. – Náu a < 0 thẳ đồ thị nơm phẵa dưới trục hoành O là điểm cao nhĐt cừa đồ thị • Lưu ý ba nởi dung cừa đồ thị hàm số y = ax2 với a 6= 0 – Vị trẵ cừa đồ thị với gúc tọa độ – Vị trẵ cừa đồ thị với trục tung – Vị trẵ cừa đồ thị với trục hoành 4.2 Phương trẳnh bêc hai mởt ân. Cụng thực nghiằm cừa phương trẳnh bêc hai 4.2.1 Định nghĩa Phương trẳnh bêc hai mởt ân là phương trẳnh cú dÔng ax2 + bx + c = 0 trong đú x là ân a; b; c4 là cĂc số cho trước với a 6= 0 4.2.2 GiÊi phương trẳnh bêc hai khuyát Đưa vã phương trẳnh dÔng ax2 = m hoặc phương trẳnh tẵch 4.2.3 GiÊi phương trẳnh bêc hai CĂch 1 Đưa vã phương trẳnh dÔng a(x + m)2 = n CĂch 2 Đưa vã phương trẳnh tẵch a(x + m)(x + n) = 0 CĂch 3 Dựng cụng thực nghiằm cừa phương trẳnh bêc hai 4.3 Hằ thực Vi-²t và ựng dụng 4.3.1 Hằ thực Vi-²t 2 Náu phương trẳnh bêc hai ax + bx + c = 0 cú hai nghiằm x1; x2 (phƠn biằt hoặc trựng b c nhau) thẳ tờng cĂc nghiằm bơng − tẵch cĂc nghiằm bơng a a 8 b 2 < x1 + x2 = − ax + bx + c = 0; a 6= 0; ∆ ≥ 0 ) c a : x x = 1 2 a 15
16. 4.3.2 Áp dụng hằ thực Vi-²t để tẵnh nhâm nghiằm cừa phương trẳnh bêc hai Cho phương trẳnh ax2 + bx + c = 0 với a 6= 0 c • Náu a + b + c = 0 thẳ x = 1 và x = 1 2 a c • Náu a − b + c = 0 thẳ x = −1 và x = − 1 2 a 4.3.3 Áp dụng hằ thực Vi-²t để xĂc định dĐu cĂc nghiằm cừa phương trẳnh bêc hai b c Cho phương trẳnh ax2 + bx + c = 0 với a 6= 0. Đặt S = − ;P = . Ta cú a a 4.3.4 Tẳm hai số biát tờng và tẵch cừa chỳng • Náu cú hai số cú tờng bơng S và tẵch bơng P thẳ hai số đú là hai nghiằm cừa phương trẳnh x2 − Sx + P = 0 • Điều kiằn để cú hai số đú là S2 − 4P > 0 • Áp dụng tẵnh nhâm nghiằm p p p 2 • Cho phương trẳnh x − (2 + 2)x + 2 2 =p 0. Hai số 2 và 2 là nghiằm cừa phươngp trẳnh vẳ tờng cừa chỳng bơng S (bơng 2+ 2) và tẵch cừa chỳng bơng P (bơng 2 2) 4.4 Phương trẳnh quy vã phương trẳnh bêc hai 4.4.1 Phương trẳnh đa thực bêc cao • Đưa vã phương trẳnh tẵch • Nhiãu trường hủp cú thº dựng ân phụ • Trường hủp đặc biằt là phương trẳnh trựng phương ax4 + bx2 + c = 0 với a 6= 0. Dựng ân phụ y = x2 với y > 0 4.4.2 Lưu ý • é bài hằ thực Vi-²t và ựng dụng ta đó biát cho phương trẳnh ax2 + bx + c = 0 náu a + b + c = 0 thẳ 1 là mởt nghiằm cừa phương trẳnh cỏn náu a + c = b thẳ −1 là mởt nghiảm cừa phương trẳnh • Tờng quĂt cho phương trẳnh f(x) = 0 trong đú f(x) là mởt đa thực với bián x 16
17. – Náu tờng cĂc hằ số cừa f(x) bơng 0 thẳ 1 là mởt nghiằm cừa phương trẳnh f(x) = 0 – Náu tờng cĂc hằ số cừa cĂc hÔng tỷ bêc chđn cừa f(x) bơng tờng cĂc hằ số cừa cĂc hÔng tỷ bêc l´ cừa f(x) thẳ −1 là mởt nghiằm cừa phương trẳnh f(x) = 0 4.4.3 Phương trẳnh chựa Đn ở mău Khỷ mău với điều kiằn mău khĂc 0 4.4.4 Phương trẳnh chựa ân trong dĐu côn bêc hai • Dựng ân phụ đặt côn thực chựa ân bơng y • Bẳnh phương hai vá cừa phương trẳnh cú điều kiằn k±m theo 4.5 GiÊi bài toĂn bơng cĂch lêp phương trẳnh CĂc bước giÊi bài toĂn bơng cĂch lêp phương trẳnh bêc hai mởt ân Bước 1 Lêp phương trẳnh • Chọn mởt đại lượng chưa biát làm ân. Ghi ró đơn vị và điều kiằn cừa ân • Biºu thị cĂc đại lượng chưa biát khĂc theo ân • Lêp phương trẳnh bêc hai diạn đạt sự tương quan giỳa cĂc đại lượng Bước 2 GiÊi phương trẳnh Bước 3 Nhên định kát quÊ và trÊ lời 17
18. Chương 5 Hằ thực lượng trong tam giĂc vuụng 5.1 Mởt số hằ thực vã cÔnh và đường cao trong tam giĂc vuụng 18 5.2 T¿ số lượng giĂc cừa gúc nhọn................... 18 5.3 BÊng lượng giĂc và mĂy tẵnh bỏ tỳi............... 19 5.4 Mởt số hằ thực vã cÔnh và gúc trong tam giĂc vuụng..... 19 5.5 Ứng dụng thực tá cĂc t¿ số lượng giĂc cừa gúc nhọn..... 20 5.1 Mởt số hằ thực vã cÔnh và đường cao trong tam giĂc vuụng Cho tam giĂc ABC vuụng tÔi A đường cao AH. Ngoài định lẵ Py-ta-go và hằ thực bc = ah đó biát. CƯn nhớ thảm cĂc hằ thực sau b2 = ab0 h2 = b0c0 1 1 1 c2 = ac0 = + h2 b2 c2 5.2 T¿ số lượng giĂc cừa gúc nhọn • Với mọi tam giĂc vuụng cú cựng gúc nhọn α mội t¿ số bản dưới đều khụng đổi cÔnh đối ữ cÔnh huyãn cÔnh kã ữ cÔnh huyãn cÔnh đối ữ cÔnh kã cÔnh kã ữ cÔnh đối 18
19. Ta gọi cĂc t¿ số trản theo thự tự là sin α; cos α; tan α; cot α • Quan hằ giỳa cĂc t¿ số lượng giĂc sin α cos α tan α = cot α = cos α sin α tan αcot_ α = 1 sin2 α + cos2 α = 1 • T¿ số lượng giĂc cừa hai gúc phụ nhau Náu Bb + Cb = 90o thẳ sin B = cos C; tan B = cot C • T¿ số lượng giĂc cừa cĂc gúc đặc biằt 5.3 BÊng lượng giĂc và mĂy tẵnh bỏ tỳi • Khi α tông thẳ sin α và tan α tông, cos α và cot α giÊm • Biát dựng bÊng lượng giĂc hoặc mĂy tẵnh bỏ tỳi giÊi hai bài toĂn – Cho số đo α. Tẳm sin α; cos α; tan α; cot α – Cho sin α hoặc cos α hoặc tan α hoặc cot α. Tẳm số đo α 5.4 Mởt số hằ thực vã cÔnh và gúc trong tam giĂc vuụng Trong mởt tam giĂc vuụng • CÔnh gúc vuụng = CÔnh huyãn ì sin gúc đối = CÔnh huyãn ì cos gúc kã • CÔnh gúc vuụng = CÔnh gúc vuụng kia ì tan gúc đối = CÔnh gúc vuụng kia ì cot gúc kã 19
20. 5.5 Ứng dụng thực tá cĂc t¿ số lượng giĂc cừa gúc nhọn Trong thực tá cừa cuởc sống t¿ số lượng giĂc cừa gúc nhọn cú rĐt nhiãu ựng dụng cú thº kº ra mởt vài ựng dụng thường gặp nhĐt như tẵnh chiãu cao, tẵnh khoÊng cĂch, . . . 20