Chuyên đề Điểm cố định, đường cố định - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Công Lợi

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Điểm cố định, đường cố định - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Công Lợi

1. Tailieumontoan.com  Nguyễn Công Lợi CHUYÊN ĐỀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH, ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH Nghệ An, tháng 09 năm 2019
2. 1 CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐƯỜNG CÔ ĐỊNH LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về các bài toán về điểm cố định, đường cố định. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về điểm cố định, đường cố định thường được ra trong các kì thi gần đây. Chuyên đề gồm 4 phần: Hệ thông kiến thức cần nhớ Các thí dụ minh họa Bài tập tự luyện Hướng dẫn giải Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề điểm cố định, đường cố định này có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này! Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3. 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ B|i to{n về đường cố định v| điểm cố định l| một b|i to{n khó, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng ph}n tích b|i to{n v| suy nghĩ, tìm tòi một c{ch s}u sắc để tìm ra được lời giải. Một vấn đề quan trọng khi giải b|i to{n về đường cố định v| điểm cố định dự đo{n được yếu tố cố định. Thông thường ta dự đo{n c{c yếu tố cố định bằng c{c phương ph{p sau: Giải b|i to{n trong trường hợp đặc biệt để thấy được yếu tố cố định cần tìm. Từ đó ta suy ra trường hợp tổng qu{t. Xét c{c đường đặc biệt để của một họ đường để thấy được yếu tố cố định cần tìm. Dựa v|o tính đối xứng, tính độc lập, bình đẳng của c{c đối tượng để hạn chế phạm vi của hình tứ đó có thể tìm được yếu tố cố định. Khi giải b|i to{n về đường cố định v| điểm cố định ta thường thực hiện c{c bước như sau: a) Tìm hiểu bài toán: Khi tìm hiểu b|i to{n ta x{c định được + Yếu tố cố định(điểm, đường, < ) + Yếu tố chuyển động(điểm, đường, < ) + Yếu tố không đổi(độ d|i đoạn, độ lớn góc, < ) + Quan hệ không đổi(Song song, vuông góc, thẳng h|ng, < ) b) Dự đoán điểm cố định: Dựa v|o những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự đo{n yếu tố cố định. Thông thường ta tìm một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng thêm với c{c đặc điểm bất biến kh{c như tính chất đối xứng, song song, thẳng h|ng < để dự đo{n điểm cố định c) Tìm tòi hướng giải: Từ việc dự đo{n yếu tố cố định tìm mối quan hệ giữa yếu tố đó với c{c yếu tố chuyển động, yếu tố cố định v| yếu tố không đổi. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4. 3 II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Cho ba điểm A, C, B thẳng h|nh theo thứ tự đó. Vẽ tia Cx vuông góc với AB. Trên CE CA tia Cx lấy hai điểm D, E sao cho 3 . Đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ADC cắt CB CD đường tròn ngoại tiếp tam gi{c BEC tại H kh{c C. Chứng minh rằng đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn thẳng AB. Phân tích tìm lời giải Tìm hiểu đề bài: M + Yếu tố cố định: đoạn thẳng AB C B A + Yếu tố không đổi: BEC 3000 , ADB 60 D H Do đó số đo cung BC v| cung CA không đổi. Ba điểm B, D, H thẳng h|ng v| E, H, A thẳng h|ng E Dự đoán điểm cố định: Khi C trùng B thì (d) tạo với BA một góc 600 , suy ra điểm cố định thuộc tia By tạo với tia BA một góc 600 . Khi C trùng A thì (d) tạo với AB một góc 300 , suy ra điểm cố định thuộc tia Az tạo với tia AB một góc 300 Khi By v| Az cắt nhau tại M thì M l| điểm cố định? Nhận thấy M nhìn AB cố định dưới 900 nên M thuộc đường tròn đường kính AB. Tìm hướng chứng minh: M thuộc đường tròn đường kính AB cố định do đó cần chứng minh số đo cung AM không đổi. Thật vậy sdAM 2MCA 2CHA 2CDA 1200 Lời giải CA Ta có tan D 3 D 600 . Ta lại có CHA CDA 600 CD Gọi giao điểm của đường tròn đường kính AB với CH l| M. Ta có MHA 600 . Ta có sdAM 2MCA 2CHA 2CDA 1200 . Do đó số đo cung MA không đổi. Lại có đường tròn đường kính AB cố định nên M cố định do đó CH luôn qua M cố định. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5. 4 Ví dụ 2. Cho đường tròn O;R và dây cung AB R 3 . Lấy điểm P kh{c A v| B trên d}y AB. Gọi C;R1 l| đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn O;R tại A. Gọi D;R2 l| đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn O;R tại B. C{c đường tròn C;R1 và D;R2 cắt nhau tại M kh{c P. Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì đường thẳng PM luôn đi qua một điểm cố định. Phân tích tìm lời giải Tìm hiểu đề bài: + Yếu tố cố định: Đường tròn O;R và dây AB + Yếu tố không đổi: DPCO l| hình bình h|nh. Số đo O M C cung BP của đường tròn D;R2 v| số đo cung AP của B D A P đường tròn C;R1 , số đo góc BMA không đổi Dự đoán điểm cố định: Khi P trùng với A thì PM l| tiếp tuyến của O;R nên điểm cố định nằm trên tiếp tuyến I của O;R tại A. Khi P trùng với B thì PM l| tiếp tuyến của O;R nên điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của O;R tại B. Do tính chất đối xứng của hình nên điểm cố định nằm trên đường thẳng qua O v| vuông góc với AB. Do đó điểm cố định nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam gi{c OAB Lời giải Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam gi{c OAB cắt PM tại I. Vì AB R 3 nên số đo cung AB của đường tròn O;R bằng 1200 . Tam gi{c BDP c}n ta D nên ta được OBA DPB và tam gi{c OAB c}n tại O nên OBA OAB . Do đó ta được BDP BOA nên số đo của cung BP 0 của đường tròn D;R2 v| số đo cung BA của đường tròn O;R đều bằng 120 . Hoàn 0 0 to|n tương tự ta được số đo cung PA của C;R1 cũng bằng 120 . Do đó ta có BMP 60 và AMP 600 nên BMA BMP AMP 1200 BOA Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6. 5 Tứ gi{c BMOA có BMA BOA nên tứ gi{c BMOA nội tiếp hay M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam gi{c BOA. Từ đó suy ra IMA PMA 1200 . Vậy I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam gi{c AOB v| số đo cung IA bằng 1200 nên I cố định. Vậy MP đi qua I cố định. Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD có t}m O. Vẽ đường thẳng d quay quanh O cắt AD, BC thứ tự tại E, F. Từ E, F lần lượt vẽ c{c đường thẳng song song với BD, CA chúng cắt nhau tại I. Qua I vẽ đường thẳng m vuông góc với EF. Chứng minh rằng m luôn đi qua một điểm cố định khi d quay quanh O. Phân tích tìm lời giải Khi điểm E trùng với điểm A thì HI qua A v| D C vuông góc với AC. Khi điểm E trùng với điểm D thì F HI qua B v| vuông góc với BD. Do tính chất đối O H xứng của hình vẽ nên điểm cố định nằm trên đường E trung trức của AB. Từ đó ta dự đo{n được điểm cố định K nằm trên đường tròn đường kính AB B I A Lời giải 0 Dễ thấy điểm I thuộc AB. Ta có IHE IAE 180 nên K tứ gi{c IHEA nội tiếp. Từ đó suy ra IHA IEA 450 Ta lại có IHF IBF 1800 nên tứ gi{c IHFB nọi tiếp. Do đó BHI BFI 450 Vẽ đường tròn đường kính AB khi đó ta có BHA IHA BHI 900 nên H thuộc đường tròn đường kính AB. Giả sử HI cắt đường tròn đường kính AB tại K. Khi đó ta có sdKH KHA IHA 900 Do K thuộc đường tròn đường kính AB v| số đo cung KH bằng 900 nên điểm K cố định. Vậy HI luôn đi qua điểm K cố định khi d quay quanh O. Ví dụ 4. Cho đường tròn (O) b{n kính R v| một đường thẳng d cắt (O) tại C, D. Một điểm M di động trên d sao cho MC MD v| ở ngo|i đường tròn (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA v| MB (với A, B l| c{c tiếp điểm). Chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định. Phân tích tìm lời giải Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7. 6 Do đường thẳng OH cho trước, nên dự F đo{n AB cắt OH tại điểm cố định. Gọi H l| trung điểm CD v| giao điểm của AB với MO, A H OH lần lượt l| E, F. Ta thấy tứ gi{c MEHF nội C D M tiếp v| tam gi{c OMH vuông nên ta có thể suy O E ra được OF không đổi. Từ đó suy ra F cố định. Lời giải B Gọi H l| trung điểm CD v| giao điểm của AB với MO, OH lần lượt l| E, F. Tam gi{c OBM vuông tại B có đường cao BE nên ta được OE.OM OB22 R Ta lại có FHM FEM 900 nên tứ gi{c MEHF nội tiếp Xét hai tam giác OHM và OEF có góc MOF chung và OHM OEF 900 nên đồng dạng với nhau OH OM OE.OM Do đó ta được OF . OE OF OH R2 Từ đó ta được OF . Do đường tròn (O) v| đường thẳng d cho trước nên OH không OH đổi. Từ đó suy ra OF không đổi. M| điểm O cố định nên điểm F cố định. Vậy đường thẳng AB đi qua điểm F cố định. Nhận xét: Bài toán vẫn đúng trong trường hợp điểm M nằm trên tia đối của tia CD. Khi đó đường thẳng AB vẫn đi qua điểm F cố định. Ví dụ 5. Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm giữa A v| C. Đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua A v| B. Gọi PQ l| đường kính của đường tròn (O), PQ vuông góc AB, (P thuộc cung lớn AB). Gọi CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Chứng minh QI luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi. Phân tích tìm lời giải Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8. 7 Do điểm A, B, C cố định nên ta dự đo{n P đường thẳng IQ cắt AB tại điểm cố định. Chứng minh tứ gi{c PDKI nội tiếp. Dựa v|o tứ I gi{c nội tiếp v| tam gi{c đồng dạng ta chứng O A minh đường thẳng đã cho đi qua K cố định. D K B C Lời giải Q Gọi IQ cắt AB tại K. Ta có tứ gi{c PDKI nội tiếp Xét hai tam giác vuông CIK và CDP có DCP chung nên tam gi{c CIK đồng dạng tam gi{c CDP, do đó suy ra CI CK CI.CP CD.CK CD CP CI CA Lại thấy hai tam gi{c CIB v| CAP đồng dạng nên suy ra CI.CP CA.CB CB CP CA.CB Từ đó ta được CK.CD CA.CB CK CD Do A, B, C cố định nên CA, CB, CD không đổi. Khi đó độ d|i CK không đổi nên ta suy ra được điểm K cố định. Suy ra IQ luôn đi qua điểm K cố định khi đường tròn (O) thay đổi.. Ví dụ 6. Cho đường tròn t}m O v| hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn đó (AB không phải l| đường kính). Gọi M l| trung điểm của cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm C, D ph}n biệt v| không nằm trên đường tròn. C{c đường thẳng MC, MD cắt đường tròn đã cho tương ứng tại E, F kh{c M a) Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn. b) Gọi O,O12 tương ứng l| t}m c{c đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ACE v| BDF. Chứng minh rằng khi C, D thay đổi trên đoạn AB c{c đường thẳng AO1 và BO2 luôn cắt nhau tại một điểm cố định. Phân tích tìm lời giải + Để chứng bốn điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn ta đi chứng minh tứ gi{c CDFE nội tiếp, muốn vậy ta chứng minh Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9. 8 + Đường tròn (O) cho trước nên dự đo{n AO1 đi qua điểm chính giữa cung lớn AB. Vận dụng tứ gi{c nội tiếp, ta chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua điểm cố định, l| điểm chính giữa của một cung. Lời giải a) Ta xét c{c trường hợp sau + Xét trường hợp C nằm giữa A v| D. Khi đó ta M 1 thấy được MCB sdMB sdAE và 2 A C D B H 1 MFE sdMA sdAE O 2 O1 M| ta thấy số đo hai cung MB v| MA bằng nhau E F nên ta được MCB MFE. Lại có N MCB BCE 1800 nên suy ra BCE MFE 1800 . Từ đó suy ra tứ gi{c CDFE nội tiếp đường tròn. + Xét trường hợp D nằm giữa A v| C. Chứng minh ho|n to|n tương tự ta cũng được bốn điểm C, D, F, E cùng nằm trên một đường tròn. Vậy bốn điểm C, D, F, E cùng nằm trên một đường tròn. b) Ta xét trường hợp C nằm giữa A v| D, trường hợp còn lại chứng minh tương tự. Hạ O1 H AC và có OAOC11 nên tam giác O1 AC c}n tại O1 . Do đó OH1 l| tia ph}n gi{c của góc AO1 C do đó ta được AO11 C 2AO H . Mà ta có AO1 C 2AEC nên suy ra AO1 H AEC . Lại có AEC MAB nên AO1 H MAB. 0 Xét tam giác AO1 H vuông tại H nên AO11 H HAO 90 0 0 Do đó ta được MAB HAO1 90 nên MAO1 90 . Suy ra MA l| tiếp tuyến của đường tròn (O1). 0 Kéo dài AO1 cắt đường tròn (O) tại N, suy ra MON 2MAN 180 nên M, O, N thẳng hàng. Lại có MN vuông góc với AB nên N l| điểm chính giữa cung lớn AB. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10. 9 Lập luận tương tự BO2 đi qua N l| điểm chính giữa cung lớn AB. Do đó AO12 ; BO đi qua N l| điểm chính giữa cung lớn AB. Vậy AO12 ; BO luôn đi qua 1 điểm cố định . Ví dụ 7. Cho tam gi{c ABC v| điểm D di chuyển trên cạnh BC (D kh{c B v| C). Đường tròn O1 đi qua D v| tiếp xúc AB tại B. Đường tròn O2 đi qua D v| tiếp xúc AC tại C. Gọi E l| giao điểm thứ hai của đường tròn O1 v| đường tròn O2 . Chứng minh rằng khi D di động trên đoạn BC thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định. Kết quả trên còn đúng không trong trường hợp D di động ở ngo|i đoạn BC. Phân tích tìm lời giải Chứng minh được A, B, C, E cùng nằm trên đường tròn. Gọi DE cắt đường tròn O tại điểm thứ hai S. Ta dự đo{n đường thẳng DE đi qua điểm cố định S. Tuy nhiên để chứng minh S cố định ta cần chỉ ra số đo của một trong c{c cung SA, SB, SC không đổi. Lời giải Gọi O l| đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ABC. Đường tròn O1 đi qua D v| tiếp xúc với AB tại B nên ABC BED. Đường tròn O2 đi qua D v| tiếp xúc với AC tại C. Nên ACB CED A S Suy ra BAC BED CED BAC ABC ACB 1800 . Do đó tứ gi{c ABEC nội tiếp đường tròn. O Gọi DE cắt đường tròn O tại điểm thứ hai S. Từ D B C ABC BED ta suy ra được nên hai cung AC v| SB O1 O2 bằng nhau. M| số đo cung AC không đổi v| B cố định E nên điểm S cố định. Do đó S l| điểm cố định. Vậy đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định Trường hợp điểm D nằm ngo|i đoạn BC. Chẳng hạn D nằm trên tia đối tia CB(trường hợp D thuộc tia đối tia BC chứng minh tương tự). Ta chứng minh được bốn điểm A, B, C, E cùng nằm trên đường tròn O . Gọi DE cắt O tại điểm thứ hai S. Kẻ tia Cy l| tia đối của tia CA. Khi đó trong đường tròn 0 O2 ta có CED DCy; DCy ACB . Suy ra CED ACB nên ta được SEC 180 CED không đổi. Vậy điểm S cố định. Vậy đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11. 10 Ví dụ 8. Cho góc vuông xAy, điểm B cố định trên Ay, điểm C di chuyển trên Ax. Đường tròn t}m I nội tiếp tam gi{c ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Phân tích tìm lời giải Chứng minh tứ gi{c BIHN nội tiếp, dựa v|o tứ gi{c nội tiếp để chứng minh MN đi qua điểm cố định Lời giải Gọi H l| giao điểm của AI với MN. Từ B CM CN nên tam gi{c CMN c}n tại C. N 0 1 Suy ra CNM 90 C do đó H 2 I 1 BNH 900 C 2 A M C Do I l| giao điểm c{c đường ph}n gi{c trong 1 của tam gi{c ABC nên BIA 900 C . Do 2 đó ta được BIA BNH nên suy ra tứ gi{c BIHN nội tiếp. Lại có BNI 9000 BHI 90 . Do đó tam gi{c ABH vuông tại H. Mà ta có BAH 450 nên suy ra tam gi{c ABH vuông c}n tại H. Do A, B cố định nên điểm H cố định. Vậy MN luôn đi qua điểm H cố định. Nhận xét: Trường hợp tổng quát xAy thì tam giác ABH vuông tại H và BAH . Suy ra 2 điểm H cố định. Ví dụ 9. Cho đường tròn t}m O, d}y AB. Điểm M di chuyển trên cung lớn AB. C{c đường cao AE, BF của tam gi{c ABM cắt nhau ở H. Đường tròn t}m H b{n kính HM cắt MA, MB theo thứ tự ở C, D. a) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12. 11 b) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ H v| vuông góc với CD cũng đi qua một điểm cố định. Phân tích tìm lời giải + Trong phần a, dựa v|o tứ gi{c ABEF nội tiếp x đường tròn ta dự đo{n đường thẳng kẻ từ M M vuông góc với CD luôn đi qua điểm O cố định. E F D Để có được điều n|y ta cần chứng minh được H C OM vuông góc với CD. O B + Trong phần b, dựa v|o tính chất trong tam gi{c A K khoảng c{ch từ trực t}m tam gi{c đến đỉnh bằng hai lần khoảng c{ch từ t}m đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng. Lời giải a) Kẻ tiếp tuyến Mx với đường tròn (O). Khi đó theo tính chất tiếp tuyến ta có BMx MAB . Do AE v| BF l| đường cao của tam gi{c MAB nên tứ gi{c ABEF nội tiếp đường tròn đường kính AB. Từ đó ta có MEF MAB . Do đó MEF BMx, suy ra Mx//EF. Suy ra OM vuông góc với EF Ta có H l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c MCD v| HE vuông góc với MD nên E l| trung điểm MD Tương tự F l| trung điểm MC. Suy ra EF l| đường trung bình tam gi{c MCD Do đó EF//CD v| OM vuông góc với EF nên OM vuông góc với CD. M| ta có điểm O cố định. Điều n|y chứng tỏ rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với CD luôn đi qua một điểm O cố định. b) Gọi K l| điểm đối xứng với O qua AB ta có OK vuông góc với AB. M| ta lại có MH vuông góc với AB. Suy ra MH song song với OK. Lại có trong tam gi{c khoảng c{ch từ trực t}m tam gi{c đến đỉnh bằng hai lần khoảng c{ch từ t}m đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng. Do đó ta được MH OK. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13. 12 Vậy tứ gi{c MHKO l| hình bình h|nh. Nên ta suy ra được HK song song với OM Lại có OM vuông góc với CD nên HK vuông góc với CD. Vậy đường thẳng kẻ từ H vuông góc CD đi qua điểm K. Do điểm O v| AB cho trước nên K l| điểm cố định. Ví dụ 10. Cho tam gi{c ABC, M l| điểm bất kì thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam gi{c ấy. Gọi D l| điểm đối xứng với M qua AB, E l| điểm đối xứng với M qua BC. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường tròn (O) thì DE luôn đi qua một điểm cố định. Phân tích tìm lời giải Dựa v|o c{c tứ gi{c nội tiếp, ta chứng B F minh được H, I, K thẳng h|ng. Dự đo{n đường thẳng DE đi qua trực t}m của tam E O gi{c ABC cố định. Để chứng minh đường N K I D A thẳng DE đi qua trực t}m của tam gi{c C H ABC ta cần chứng minh ba điểm D, N, E M thẳng h|ng. Lời giải Gọi H, I, K theo thứ tự l| ch}n c{c đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC, BC. Trước hết ta chứng minh ba điểm H, I, K thẳng h|ng. Thật vậy, dễ thấy c{c tứ gi{c AIMH, CKIM nên ta suy ra được AIH AMH và CMK CIK . M| ta lại thấy HAM MCK nên ta được AMH CMK . Từ đó ta suy ra được AIH CIK . Từ đó suy ra ba điểm H, I, K thẳng h|ng(đường thẳng Simsơn). Gọi N l| trực t}m của tam gi{c ABC. Gọi giao điểm của AN với đường tròn (O) l| F. Ta có BCN BCFnên suy ra BC l| trung trực NF. M| BC l| trung trực của ME. Từ đó suy ra MEN NFM FNE . Ta lại có NFM ACM và HKM ACM Suy ra HKM MEN do đó NE song song với HK. Chứng minh tương tự có ND song song với HK Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14. 13 Vậy D, N, E thẳng h|ng. Vậy DE đi qua trực t}m N của tam gi{c ABC nên DE đi qua điểm cố định. Ví dụ 11. Cho đường tròn t}m (O). Từ điểm A cố định ở ngo|i (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O) (B, C tiếp điểm). Lấyđiểm M trên cung nhỏ BC. Gọi D, E, F thứ tự l| hình chiếu từ M đến BC, AC, AB. Gọi MB cắt DF tại P, MC cắt DE tại Q. Chứng minh đường thẳng nối giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp tam gi{c MPF v| MQE luôn đi qua một điểm cố định. Phân tích tìm lời giải Cạnh BC cố định cho trước nên ta dự đo{n A dự đo{n đường thẳng MN đi qua điểm cố định thuộc cạnh BC. Chứng minh tứ gi{c MPDQ nội tiếp từ đó suy ra MN đi qua trung điểm PQ. Vận N E dụng định lí Talets để suy ra MN đi qua trung F M điểm BC. P K Q Lời giải Gọi đường tròn ngoại tiếp tam gi{c MPF v| MQE B D I C cắt nhau tại M, N. Đường thẳng MN cắt PQ, BC O thứ tự tại K v| I. Ta có c{c tứ gi{c MDCE, MDBF nội tiếp Suy ra MCE MDE MBC và MBF MDF MCB . Do đó ta được PMQ PDQ PMQ PDM QDM PMQ MCB MBC 1800 Do đó MPDQ l| tứ gi{c nội tiếp. Nên ta suy ra MQP MDP MCB . Từ đó suy ra PQ song song với BC Lại có MQP MCB MEQ . Nên KQ l| tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam gi{c MQE. Chứng minh tương tự ta được KP l| tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam gi{c MPF. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15. 14 Từ đó ta chứng minh được KM.KN KQ2 và KM.KN KP2 nên suy ra KP PQ. Xét tam gi{c MBC có PQ song song với BC v| KP PQ nên theo định lí Talets suy ra I l| trung điểm BC. Điều n|y chứng tỏ MN đi qua điểm cố định I l| trung điểm BC. Ví dụ 12. Cho tứ gi{c lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O) , có đỉnh A cố định v| c{c đỉnh B, C, D di chuyển trên (O) sao cho BAD 900 . Kẻ tia Ax vuông góc với AD cắt BC tại E, kẻ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F. Gọi K l| điểm đối xứng của A qua EF. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. Phân tích tìm lời giải Dự đo{n đường thẳng EF đi qua điểm cố định l| O. Chú ý rằng EF l| đường trung trực của AK, do đó để chứng minh EF đi qua O ta cần chỉ ra được OA OK . Muốn vậy ta cần phải chỉ ra tứ gi{c ADKC nội tiếp. Lời giải 0 Tứ gi{c ABCD nội tiếp nên BAD BCD 180 và A B BAD EAF BAE EAF FAD FAE E FAB DAE 1800 O Suy ra BCD EAF, mặt kh{c do A v| K đối xứng D F C qua EF nên EKF EAF. Do đó ta được EKF ECF K nên tứ gi{c EFKC nội tiếp. Vì EFKC nội tiếp nên FCK FEK mà FEK FEA, FEA KAD nên ta được KAD FCK Suy ra tứ gi{c ADKC nội tiếp, suy ra K thuộc đường tròn (O) nên OA OK Do đó O thuộc đường trung trực của AK nên O thuộc EF hay EF luôn đi qua điểm O có định. Ví dụ 13. Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định. Điểm M di động trên đường tròn (O)(M kh{c A v| B). C{c tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A v| M cắt nhau tại C. Đường tròn (I) đi qua M v| tiếp xúc với AC tại C có đường kính CD. Chứng minh rằng Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16. 15 đường thẳng đi qua D vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn (O). Phân tích tìm lời giải Gọi H l| ch}n đường vuông góc hạ từ D xuống BC. Kéo d|i DH cắt AB tại K. Gọi N l| giao điểm của CO với đường tròn (I). Ta dự đo{n điểm K l| điểm cố định. Muốn có được điều n|y ta cần chứng minh được K l| trung điểm của AO. Nhận thấy N l| trung điểm của CO. Như vậy để có K l| trung điểm của AO ta cần chỉ ra được NK song song với AC. Lời giải Ta có MC l| tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MC MO . Trong đường tròn (I) có CMD 900 I C D nên MC MD . Từ đó ta được MO//MD do đó ta được MO v| MD trùng nhau nên ba điểm M, O, D M H N thẳng h|ng. Lại có CA l| tiếp tuyến của đường tròn (O) nên CA AB . Lại có AC l| tiếp tuyến với A B K O dường tròn (I) tại C nên CA CD, từ đó CD//AB. Suy ra DCO COA M| ta lại có COA COD nên ta được DOC DCO , suy ra tam gi{c COD c}n tại D. Gọi H l| ch}n đường vuông góc hạ từ D xuống BC. Ta có CHD 900 nên H thuộc đường tròn (I). Kéo dài DH cắt AB tại K. Gọi N l| giao điểm của CO với đường tròn (I), ta có CND 900 Lại có tam gi{c COD c}n tại D nên CN NO . Từ đó ta được tứ gi{c NHOK nội tiếp đường tròn. Ta có NHK NOK DCO nên ta được NHO NKO 1800 Lại có NDH NCH và CBO HND HCD nên DHN∽ COB HN OB OB OA OA CN ON HN ON Từ đó suy ra . Tương tự ta cũng được ; HD OC OC OC OC CD OC HD CD Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17. 16 Mà ta có ONH CDH nên ta được NHO∽ DHC, do đó NHO 900 Từ đó ta được NKO 900 , suy ra NK//AC. M| N l| trung điểm của OC nên K l| trung điểm của OA. Do A, O cố định nên K cố định. Vậy đường thẳng đi qua D vuông góc với BC luôn đi qua điểm K cố định. Ví dụ 14. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB v| một điểm M bất kì nằm trong (O) nhưng không nằm trên đường kính AB. Gọ N l| giao điểm của đường ph}n gi{c trong của góc AMB với đường tròn (O). Đường ph}n gi{c ngo|i của góc AMB cắt đường thẳng NA, NB lần lượt tại P v| Q. Đường thẳng MA cắt đường tròn đường kính NQ tại R, đường thẳng MB cắt đường tròn đường kính NP tại S v| R, S kh{c M. Chứng minh rằng đường trung tuyến ứng với đỉnh N của tam gi{c NRS luôn đi qua một điểm có định khi M di động phía trong đường tròn. Phân tích tìm lời giải Qua R kẻ đường thẳng song song với PQ cắt AN tại C, qua S kẻ đường thẳng song song với PQ cắt BN tại D. Gọi I l| trung điểm của CD. Ta nhận thấy CD song song với AB. Gọi I l| trung điểm của SR v| ta dự đo{n NI đi qua điểm cố định O. Muốn có điều đó ta cần chứng minh I cũng l| trung điểm của CD. Điều n|y đồng nghĩa với việc chứng minh tứ gi{c CRDS l| hình bình hành. Lời giải Qua R kẻ đường thẳng song song với R I PQ cắt AN tại C, qua S kẻ đường C D Q thẳng song song với PQ cắt BN tại D. S M P Gọi I l| trung điểm của CD. Ta sẽ A O B chứng minh CD song song với AB. Thật vậy, do N nằm trên đường tròn đường kính AB nên ta có ANB 900 N suy ra AN BN, do đó BN l| tiếp tuyến của đường tròn đường kính Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18. 17 PN. Từ đó ta có BMN∽ BNS. Vì PQ l| đường ph}n gi{c ngo|i của tam gi{c AMN nên ta có SMP AMP QMR BMQ . Mặt kh{c ta lại có SMP SNP và QMR QNR . Do đó ta được SNP QNR nên suy ra SNP SNR QNR SNR CNR SNB Xét hai tam giác BNS và RNC có CNR SNB và RCN MPN NSM NSB Do đó ta được BNS∽ RNC nên ta được BNS∽∽ RNC BMN Tương tự ta cũng có DSN∽∽ RAN NAM NB NS Ta thấy BNS∽ RNC NB.NC NR.NS NR NC NS ND DSN∽ RAN NA.ND NR.NS NA NR NA NC Từ đó ta được NB.NC NA.ND , theo định lí Talet đao ta được AB//CD. NB ND Do đó trung điểm của AB, trung điểm của CD v| N thẳng h|ng. Tức l| N, O, I thẳng h|ng. MN BN NB.NC Lại có BMN∽ RNC RC NC RC MN DN DS NA.ND DSN∽ NAM SD MN NA MN Kết hợp c{c điều trên ta được RC SD m| ta có RC//SD nên tứ gi{c RCSD l| hình bình hình. Do đó hai đường chéo CD v| SR cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra I l| trung điểm của CD cũng l| trung điểm của SR. Khi đó NI l| đường trung tuyến của tam gi{c NSR. Do đó ta được đường trung tuyến NI luôn đi qua điểm O cố định. Vậy đường trung tuyến xuất ph{t từ N của tam gi{c NRS luôn đi qua điểm O cố định khi điểm M di động trong đường tròn (O). Ví dụ 15. Cho tam gi{c nhọn ABC cố định v| không c}n nội tiếp đường tròn (O), đường phân giacsAD. Lấy điểm P di động trên đoạn thẳng AD v| điểm Q trên đoạn thẳng AD sao cho PBC QBA . Gọi R l| hình chiếu của Q trên BC. Đường thẳng d đi qua R v| vuông góc với OP. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định khi P di chuyển. Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19. 18 Cách 1. Gọi giao điểm thứ của AD với đường F A tròn (O) l| E nên E l| điểm chính cung BC. Vẽ đường kính EF của (O). Gọi M l| trung điểm Q của BC. Khi đó ba điểm E, O, F thẳng h|ng. Lấy O điểm N đối xứng với M qua AD v| H l| trung P K D điểm của MN. Khi đó H thuộc AD. Ta sẽ chứng B R M C N H minh đường thẳng d đi qua điểm N cố định. Dễ thấy RMN OEP . Do QR//MN nên theo định lí E QD DE QD DE QE Talet ta được . Dễ DR DM DR DM RM thấy hai tam gi{c vuông HDM∽ MDE nên DE ME 2ME DM MH MN QE 2ME MN 2ME Do đó ta được . Dễ thấy CBE QAC QAB v| theo giả thiết ta RM MN MR QE có PBE PBC CBE QBA QAB BQE. Trong tam gi{c FBE vuông tại B có BM l| đường cao nên BE2 EM.EF . Xét hai tam giác EBP và EQB có PBE BQE và BEQ chung nên EBP∽ EQB EP EB 2EM EP Suy ra EP.EQ EB2 EM.EF 2EM.EO nên ta được EB EQ EQ EO MN EP MN EP Từ đó ta được . Xét hai tam giác OPE và MNR có RMN OEP và MR EO MR EO nên ta được EPO∽ MNR . Suy ra MNR EPO . Gọi RN cắt OP tại K, dễ thấy tứ gi{c PHNK nội tiếp nên ta được PKN PHN 900 . Do đó ta được RN vuông góc với OP, suy ra RN trùng vời đường thẳng d. Do đó đường thẳng d đi qua điểm N cố định. Cách 2. Dựng đường có AH của tam gi{c ABC. Qua H dựng đường thẳng vuông góc với OD cắt đường thẳng qua D vuông góc với OA tại X, từ đó ta được X cô định. Ta sẽ chứng minh đường thẳng d đi qua điểm X cố định. Thật vậy, gọi giao điểm của OD với AH l| M, giao điểm của OP với AH l| L. Đường tròn (O) cắt đường thẳng AD tại điểm thứ hai l| F. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20. 19 Áp dụng định lí Menelaus cho tam gi{c ADM với A ba điểmO, P, L thẳng h|ng ta được LA PD OM LM PD OM . . 1, từ đó suy ra . . Ta LM PA OD LA PA OD Q S QA AB.BQ S PA BA.BP O có AQB và PAB P SPBD PQ BP.BD SQBD QD BQ.BD E L D B H R C .Chú ý l| OF//AM, kết hợp c{c tỉ số trên ta được X QA BA2 .PD FA PD OM PD LM .. QD BD2 .PA FD PA OD PA LA RH QA LM M| do QR//AM nên ta được . RD QD LA M Dễ thấy XDH∽ OAM nên suy ra XDR∽ OAL dẫn đến XRD OLA. Gọi giao điểm của XR v| OP l| E, khi đó tứ gi{c LERH nội tiếp được nên ta suy ra LER 900 Do vậy đường thẳng qua R v| vuông góc với OP đi qua điểm X cố định. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 16. Cho tam gi{c ABC cố định. C{c điểm E v| F di động trên c{c đoạn CA, AB sao cho BF CE . Giao điểm của BE v| CF l| D. Gọi H, K l| trực t}m c{c tam gi{c DEF v| DBC. Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn đi qua điểm cố định khi E v| F di động. Phân tích tìm lời giải Gọi AG l| ph}n gi{c của góc BAC với G thuộc BC. Đường tròn ngoại tiếp tam gi{c AGB v| AGC cắt lần lượt AC v| AB tại M, N kh{c A. Gọi (O) l| đường tròn ngoại tiếp tam gi{c v| P l| điểm chính giữa cung BC có chứa A của đường tròn (O). Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC