Bộ đề thi vào Lớp 10 môn Toán Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội - Năm học 2019-2020

Nội dung tài liệu: Bộ đề thi vào Lớp 10 môn Toán Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội - Năm học 2019-2020

1. Tailieumontoan.com  Tổng Hợp BỘ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Thanh Hóa, ngày 28 tháng 2 năm 2020
2. 1 TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh luyện thi vào lớp 10 môn toán, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em bộ đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội. Đây là bộ đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp các thầy cô và các em học sinh luyện thi vào lớp 10 có một tài liệu bám sát đề thi để đạt được thành tích cao, mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường. Bộ đề gồm nhiều Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn luyện qua sẽ giúp các em phát triển tư duy môn toán từ đó thêm yêu thích và học giỏi môn học này, tạo được nền tảng để có những kiến thức nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên được nhẹ nhàng và hiệu quả hơn. Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tuyển tập đề toán này để giúp con em mình học tập. Hy vọng Tuyển tập đề thi toán vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này! TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3. 2 MỤC LỤC PHẦN 1: ĐỀ THI Đề số Đề thi Trang 1. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2019 (vòng 1) 2. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2019 (vòng 2) 3. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2018 (vòng 1) 4. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2018 (vòng 2) 5. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2017 (vòng 1) 6. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2017 (vòng 2) 7. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2016 (vòng 1) 8. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2016 (vòng 2) 9. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015 (vòng 1) 10. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015 (vòng 2) 11. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2014 (vòng 1) 12. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2014 (vòng 2) 13. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2013 (vòng 1) 14. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2013 (vòng 2) 15. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2012 (vòng 1) 16. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2012 (vòng 2) 17. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2011 (vòng 1) 18. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2011 (vòng 2) 19. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2010 (vòng 1) 20. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2010 (vòng 2) 21. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2009 (vòng 1) 22. Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2009 (vòng 2) PHẦN 2: HƯỚNG DẪN GIẢI TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4. 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn: TOÁN (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số 1 Câu 1. 2 a +1 + 3 3 − aa+12 =a 1 ÷− a) Cho a là số thực khác 1 và −1. Rút gọn biểu thức P 2 3 . a −1 aa−−11 + 3 a +1 b) Cho các số thực xya,, thoản mãn x2+33 xy 42 ++ y 2 yx 42 = a. Chứng minh rằng 33xya222+=3 . Câu 2. Trên quãng đường dài 20 km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A đến B và bạn Bình đi bộ từ B đến A . Sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C và cùng nghỉ lại 15 phút (vận tốc của An trên quãng đường AC không thay đổi, vận tối của Bình trên quãng đường BC không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên quáng đường AC là 1 km/h, Bình đi tiếp đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đường BC là 1 km/h. Biết rằng An đến B sớm hơn so với Bình đến A là 48 phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC là bao nhiêu? Câu 3. Cho các đa thức P() x=++ x2 ax b , Q() x=++ x2 cx d với abcd,,, là các số thực.. a) Tìm tất cả các giá trị của ab, để 1 và a là nghiệm của phương trình Px() = 0 . b) Giả sử phương trình Px() = 0 có hai nghiệm phân biệt xx12, và phương trình Qx() = 0 có hai nghiệm phân biệt xx34, sao cho Px()()()()3412+=+ Px Qx Qx . Chứng minh rằng xx12−=− xx 34. Câu 4. Cho đường tròn ()O , bán kính R , ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi AA1 , BB1 , CC1 là các đường cao của tam giác ABC ( A1 thuộc BC , B1 thuộc CA, C1 thuộc AB ). Đường thẳng AC11 cắt đường tròn ()O tại A' và C ' ( A1 nằm giữa A' và C1 ). Các tiếp tuyến của đường tròn ()O tại A' và C ' cắt nhau tại B' . a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng HC1.. A 1 C= A 11 C HB 1. b) Chứng minh rằng ba điểm BB, ', O thẳng hàng. c) Khi tam giác ABC là tam giác đều, hãy tính AC'' theo R . Câu 5. Cho các số thực xy, thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= xy()() x −2 y ++ 6 13 x22 + 4 y − 26 x + 24 y + 46 . TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5. 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn: TOÁN (VÒNG 2) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số 2 Câu 1. Cho hai số thực phân biệt a và b thỏa mãn điều kiện a3+= b 3 a 22 b() ab −3 . Tính giá trị của biểu thức T=+− abab. 2 2 2 Câu 2. Cho các đa thức P() x= mx1 ++ nx 11 k , Q() x= mx2 ++ nx 22 k , R() x= mx3 ++ nx 33 k với mnkiii,, là các số thực và mii >=0, 1,2,3 . Giả sử phương trình Px() = 0 có hai nghiệm phân biệt aa12, ; phương trình Qx() = 0 có hai nghiệm phân biệt bb12, ; phương trình Rx() = 0 có hai nghiệm phân biệt cc12, thỏa mãn Pc()()()()112+=+ Qc Pc Qc 2, Pb()()()()11+=+ Rb Pb 2 Rb 2, Qa()()()()11+= Ra Qa 2 + Ra 2. Chứng minh rằng aa1+=+=+ 21212 bb cc. Câu 3. a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ()xy; thỏa mãn xy222322−4 xy + y + 4 x − 3 y += 10. b) Cho ba số nguyên dương abc,, thỏa mãn abc333++ chia hết cho 14 . Chứng minh rằng abc cũng chia hết cho 14 . Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ()O và AB> AC . Gọi DE, lần lượt là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ AB, . Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ B lên đường thẳng AO . a) Chứng minh rằng BDEF,,, là bốn đỉnh của một hình thang cân. b) Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của BC . c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường thẳng AO và đường tròn ()O , M và N lần lượt là trung điểm của EF và CP . Tính số đo góc BMN . Câu 5. Cho tập hợp X thỏa mãn tính chất sau: Tồn tại 2019 tập con AA1, 2 ,..., A 2019 của X sao cho mỗi tập con AA1, 2 ,..., A 2019 có đúng ba phần tử và hai tập AAij, đều có đúng một phần tử chung với mọi 1≤<ij ≤ 2019 . Chứng minh rằng a) Tồn tại 4 tập hợp trong các tập hợp AA1, 2 ,..., A 2019 sao cho giao của 4 tập hợp này có đúng một phần tử. b) Số phần tử của X phải lớn hơn hoặc bằng 4039 . TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6. 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: TOÁN (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số 3 2x −+x 1 2 x −1 Câu 1. Cho biểu thức P = . 11 với x > 1. ()xx+11 ++() xx − 11 − − xx−+11 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm x để P = x – 1. Câu 2. Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015, nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x% so với số lượng sản xuất được năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2015. Tìm x. Câu 3. Cho phương trình xx3 − −=1 0. Giả sử là một nghiệm của phương trình đã cho. 1. Chứng minh x0 > 0. 2. Tính giá trị của biểu thức x2 −1 =0 2 ++ M3 2 xx00 3 2. x0 Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD với BC = a, AB = b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Qua điểm M dựng đường thẳng cắt đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD tại điểm P và cắt đường thẳng BC tại điểm Q sao cho B nằm giữa C và Q. 1. Khi MP⊥ AC , hãy: a) Tính PQ theo a và b. b) Chứng minh a. BP = b. PN. 2. Chứng minh ∠=∠MNP MNQ (không nhất thiết MP và AC vuông góc với nhau Câu 5. Các số nguyên xx,12 , x ,....., x 9thỏa mãn: ()()()()()()1+x12 1 + x ... 1 +=− x 9 1 x 12 1 − x ... 1 −= xx 9 . Tính P= xx.22 . x ... x 9 . TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7. 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: TOÁN (VÒNG 2) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số 4 Câu 1. Cho các số thực x, y không âm thỏa mãn điều kiện ()()xy+1 += 1 2. Tính giá trị của biểu thức P= x22 + y −2()() x 2 + 1 y 2 + 12 ++ xy . Câu 2. Cho các số thực không âm x, y, z thay đổi thỏa mãn xyzxyyzzx2+++ 22222222 + + =6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y + z. Câu 3. a) Cho a, b là hai số nguyên dương phân biệt. Xét biểu thức 2 ()ab+ M = . a3+−− ab 22 a b b 3 Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên. b) Cho a, b là hai số nguyên dương, đặt 22 A=+−() ab2, a22 B =+−() ab2. b Chứng minh rằng A và B không đồng thời là số chính phương. Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy điểm P sao cho AP vuông góc với PC. Đường thẳng qua B song song với OP cắt PC tại Q. Chứng minh rằng a) PB = PQ. b) O là trực tâm của tam giác ADE. c) ∠=∠PAO QAC. Câu 5. Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen thuộc nhau giữa họ, người ta thấy rằng: nếu hai người có số người quen bằng nhau thì lại không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trong cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp). a) Xây dựng ví dụ để S = 870. b) Chứng minh rằng S ≤ 870. TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8. 7 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn: TOÁN (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 5 2 3 b aab−−2 − 32 2 a+++ a ab a b b = a + Câu 1(2.0 điểm). Cho biểu thức P :22 1 b a−− b ab − + ++ 1 2 ()a ab aa Với ab,> 0, a ≠ ba , +≠ b a2 a) Chứng minh rằng P= ab − . b) Tìm các số a và b biết P = 1 và ab33−=7 11 2 Câu 2(1.0 điểm). Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn += . x22+++111 y xy 112 Tính giá trị biểu thức P =++ x22+++111 y xy Câu 3(2.0 điểm) Cho parabol (P) : yx= 2 và đường thẳng ()d : y=−−24 ax a (với a là tham số ) 1 a)Tìm tọa độ giao điểm của ( d) và (P) khi a = − 2 b) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng ()d cắt ()P tại hai điểm phân biệt có hoành độ xx12; thỏa mãn xx12+=3 Câu 4 (1.0 điểm). Anh nam đi xe đạp từ A đến C. Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm giữa A và C). Anh Nam đi với vận tốc không đổi a(km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn lại anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t (tính bằng giờ) kể từ B là v=−+8 ta (km/h). Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là S=−+4 t2 at .Tính quãng đường AB biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16km. Câu 5 (3.0 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B, C cắt nhau tại điểm P. Gọi D, E tương ứng là chân đường các đường vuông góc kẻ từ P xuống các đường thẳng AB và AC và M là trung điểm cạnh BC. a) Chứng minh rằng ∠=∠MEP MDP b) Giả sử B, C cố định và A chạy trên (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. c) Khi tam giác ABC đều . Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R. Câu 6(1.0 điểm) Các số thực không âm xxx123, , ,...., x 9thỏa mãn hệ điều kiện xxx123++++=.... x 9 10  xxx123+2 + 3 ++ .... 9 x 9 = 18 Chứng minh rằng 1.19xxx123+ 2.18 + 3.17 ++ .... 9.11 x 9 ≥ 270 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9. 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn: TOÁN (VÒNG 2) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 6 Câu 1. (1.5 điểm ) Cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số 11 11 11 11 a2++;b 22 ++ ;c ++ ;d 2 ++ Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3. bc cd cd ab Câu 2. (1.5 điểm )Giải phương trình : 2222 ()x2+2 x + 4() x + 1 − x22 ++() x1 +() xx + =2017 Câu 3. (3.0 điểm ) 1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a2= b 33;c = da 4 ; = d + 98 11 2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số x−2; x2 + 2 2; xx −+ ; có xx đúng một số không phải là số nguyên. Câu 4. (3điểm ) Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) ( A, B là hai tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A, C khác B). Gọi I; K là trung điểm MA, MC .Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. 1. Chứng minh KO2−= KM 22 R 2.Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp. 3.Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm KE đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cùng nằm trên một đường tròn. Câu 5. (1.0 điểm ) Xét hình bên : Ta viết các số 1, 2,3,4,..9 A vào vị trí của 9 điểm trong hình vẽ bên sao cho mỗi số chỉ xuất hiện đúng một lần và tổng ba số trên một cạnh của tam giác bằng 18. Hai cách viết được gọi là G F E như nhau nếu bộ số viết ở các điểm (A;B;C;D;E;F;G;H;K) của mỗi cách là trùng nhau. Hỏi H K có bao nhiêu cách viết phân biệt ? Tại sao? B D C TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10. 9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: TOÁN (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 7  1+−aa 1 11  = + −− Câu 1 (2.0 điểm). Cho biểu thức P  2 1   11+−aa − 11−aa2 −+ a a  với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = −1 Câu 2 (2.5 điểm). Cho parabol ()Py: = − x2 và đường thẳng()d:2 y= mx − 1 với m là tham số a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1. b) Chứng minh với mỗi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. 22 Gọi yy12, là tung độ của A, B. Tìm m sao cho yy11−=35 Câu 3(1.5 điểm). Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. 3 1 Vận tốc trên quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên quãng đường AB sau 4 4 1 3 bằng vận tốc trên quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại 2 4 3 A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên quãng đường AB đầu tiên lúc đi là 10km/h. Thời 4 gian kể tử lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A? Câu 4(3.0 điểm). Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC. a) Chứng minh rằng AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng CP.. CB+= DP DA AB c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh rằng tứ giác CDFE là hình thang. Câu 5(1.0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh: 5454547abc++ ++ +≥ TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11. 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: TOÁN (VÒNG 2) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 8 Câu 1(1.5 điểm). Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với mọi giá trị nguyên dương của n. 2 2222 4 P= nn +() +1 +() n − 1 + n 4 n +− 2 24 n + 1  Câu 2 (2.5 điểm). a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn xy88−=95() xy 22 + xy22−−44 b) Tìm các số thực x, y thỏa mãn + +=84( xy −+ 1 − 1) xy Câu 3 (2.0 điểm). Cho S là tập các số nguyên dương n có dạng nx=22 + 3 y, trong đó x, y là các số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu ab, ∈ S thì ab∈ S . N b) Nếu NS∈ và N là số chẵn thì N chia hết cho 4 và ∈ S . 4 Câu 4 (3.0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB< AC. Kẻ đường cao AH và đường tròn ()O đường kính AH cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại D và E. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại S. a) Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng SB. SC= SH 2 c) Đường thẳng SO cắt AB, AC tương ứng tại M, N. Đường thẳng DE cắt HM và HN tương ứng tại P, Q. Chứng minh rằng BP, CQ, AH đồng quy Câu 5 (1.0 điểm). Giả sử mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu xanh, đỏ, vàng. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là ba đỉnh của một tam giác cân. TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12. 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn: TOÁN (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 9 2 ab 11  ++1  −  ba  ab  Câu 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức P = với a > 0, b > 0, a ≠ b. a22 b ab +−+ ba22ba 1 1. Chứng minh P = ab 2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 41a++ b ab =. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. x−=− my24 m Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình  với m là tham số mx+= y31 m + 1. Giải hệ phương trình khi m = 2. 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0;y0) là một nghiệm 22 của hệ. Chứng minh đẳng thức x0+ y 0 −5( xy 00 + ) += 10 0 Câu 3 (1,5 điểm) Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình aa(−+−= x )22 bx ( b )0 có nghiệm duy nhất. Chứng minh |a| = |b|. Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC;ACB nhọn và BAC = 60°. Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I. 1. Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp. 2. Gọi K là giao điểm thứ hai (khác B) của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp. 3. Chứng minh AK B1C1. Câu 5 (1,0 điểm) Tìm các⊥ số thực không âm a và b thỏa mãn 223  3   11   ab++  ba ++  = 22 a +  b +  4  4   22   TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13. 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn: TOÁN (VÒNG 2) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 10 Câu 1: (2,5 điểm) 1. Cho a ≥ 0, a ≠ 1. Rút gọn biểu thức 3 a −1 S=6 − 4 2. 20 + 14 2 +3 (a + 3)aa −− 3 1 :  −1 2(a − 1) 2. Cho x, y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 và xy +=1 11−−xy Tính giá trị của biểu thức P=++ x y x22 − xy + y Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 25m (bỏ qua độ dầy của cổng) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y = ax 2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1 2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao? Câu 3: (1,5 điểm) Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a22+ b +=1 2( ab + a + b ) Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC). M là trung điểm của cạnh BC. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S. Gọi X,Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng BS, AO. Chứng minh rằng: 1. MX⊥ BF 2. Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng EF BC 3. = FY CD Câu 5: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số nguyên). Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên. TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14. 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn: TOÁN (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 11 Câu 1(2 điểm) Cho các số thực dương a, b ; a ≠ b.Chứng minh rằng ()ab− 3 −+bb2 aa ()ab− 3 33a+ ab +=0 aa− bb ba− Câu 2(2 điểm) Cho Quãng đường AB dài 120 km. Lúc 7 giờ sáng một xe máy đi từ A đến 3 B. Đi được xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc 4 lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy 3 1 trên quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên quãng đường còn lại cũng 4 4 không đổi .Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ ? Câu 3 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): 21 y=−++( mx 1) (m là tham số ) 33 1.Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt . 32 2. Gọi x1 ; x2 là là hoành độ các giao điểm (d) và (P),đặt fx( )=++ x ( m 1) x − x −1 CMR: fx()−=− fx () ( x x )3 1 22 12 Câu 4 (3 điểm): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC = 2R .Gọi gọi K,M theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ A và C xuống BD, E là giao điểm của AC và BD, biết K thuộc đoạn BE ( K ≠B ; K ≠E) .Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt AC tại P. 1.Chứng minh tứ giác AKPD nội tiếp đường tròn. 2.Chứng minh KP ⊥ PM. 3. Biết ABD = 60o và AK=x .Tính BD theo R và x. Câu 5: (1 điểm) Giải phương trình: xx(2 −+ 56) 21 x 22 −=4 47−+xx3 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15. 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn: TOÁN (VÒNG 2) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 12 abc Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn ++=0 và xyz xyz xyz2 22 ++=1 Chứng minh rằng ++=1 abc abc222 Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn x1−+ yy2 2 −+ zz 23 33 −= x Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số: 2.6.10....(4n − 2) a =1 + là một số chính phương n (nn++ 5)( 6)...(2 n ) Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc = 1 .Chứng minh rằng 1 1 13 ++≤ ab++ a2 bc ++ b 2 ca ++ c 24 Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng 1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450 2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC. 3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy Câu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp{1;2;3;4; .;2014} thỏa mãn điều y2 kiện A có ít nhất 2 phần tử và nếu x A, y A, x > y , thì : ∈ A xy− ∈ ∈ TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16. 15 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2013– 2014 Môn: TOÁN (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 13 Câu 1. (2,5 điểm) 3 ab− ++2aa bb ab+ ab− a 1. Cho biểu thức: Q = + 33a3 +− bab aa ba Với ab,>≠ 0, a b . Chứng minh giá trị của Q không phụ thuộc vào a, b 2. Các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0, chứng minh đẳng thức: 2 ()()abc222++ =2 abc 444 ++ Câu 2: (2,0 điểm) 1 Cho Parabol (P): yx= 2 và đường thẳng (d): y=−+ mx (Tham số m ≠ 0 ) 2m2 1. Chứng minh rằng với m ≠ 0 , (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 22 2. Gọi Ax()()11;, y Bx 2 ; y 2 là 2 giao điểm đó, tìm giá trị nhỏ nhấ của My=12 + y Câu 3: (1,5 điểm) Giả sử a, b, c là các số thực, ab≠ sao cho 2 phương trình x22+ ax +=1 0, x + bx + c =0 có nghiệm chung và 2 phương trình x22 ++= x a0, x + cx += b 0 có nghiệm chung. Tính a + b + c Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân, có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA11=BB = CC 1cắt nhau ở H, AC1 cắt AC tại D và X là giao điểm thứ 2 của BD và (O) 1. Chứng minh DX.DB = DC11. DA 2. Gọi M là trung điểm AC, Chứng minh DH⊥ BM Câu 5. (1,0 điểm) Các số thực x, y, z thỏa mãn:  xyz+2011 ++ 2012 ++ 2013 = yzx + 2011 ++ 2012 ++ 2013   yzz+2011 ++ 2012 ++ 2013 =+ zxy 2011 ++ 2012 ++ 2013 Chứng minh rằng x = y = z TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17. 16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2013– 2014 Môn: TOÁN (VÒNG 2) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 14 Câu 1 (2,5 điểm) 1. Các số thực abc,, thỏa mãn đồng thời 2 đẳng thức sau : i. ()()()a+ b b + c c += a abc ii. ()()()a3+ b 3 b 3 + c 3 c 3 += a 3 abc 333 Chứng minh rằng : abc = 0 . 2. Các số thực dương ab, thỏa mãn ab>+2013 a 2014 b .Chứng minh bất đẳng thức 2 ab+>( 2013 + 2014 ) Câu 2 (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ ()xy, thỏa mãn hệ phương trình x33−=+24 yx y  22 6x−+= 19 xy 15 y 1 Câu 3 (1 điểm) Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu Sn là tổng của n số nguyên tố đầu tiên (SS12=2, =+ 2 3, S 3 =++ 2 3 5,....) . Chứng minh rằng trong dãy số SSS123, , ,... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là các số chính phương . Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn ()O , BD là đường phân giác của góc ABC. Đường thẳng BD cắt đường tròn ()O tại điểm thứ hai E. Đường tròn ()O1 đường kính DE cắt đường tròn ()O tại điểm thứ hai F 1. Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với BF qua đường thẳng BD đi qua trung điểm cạnh AC 2. Biết tam giác ABC vuông tại B, ∠=°BAC 60 và bán kính của đường tròn ()O bằng R . Hãy tính bán kính của đường tròn ()O1 bằng R . Câu 5 (1 điểm) Độ dài 3 cạnh của tam giác ABC là ba số nguyên tố. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ABC không thể là số nguyên. Câu 6 (1 điểm) Giả sử aa1, 2 ,..., a 11 là các số nguyên dương lớn hơn bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa mãn aa1+ 2 ++... a11 = 407.Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của các phép chia n cho 22 số aa1, 2 ,..., a 11 ,4 a 1 ,4 a 2 ,...,4 a 11 bằng 2012. TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18. 17 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2012– 2013 Môn: TOÁN (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 15 Bài 1 (2.0 điểm) : Cho biểu thức ab− ab −+ a22 b P = +  với a > b > 0 ab++ ab − abab22− −+ ab2 −2 1/ Rút gọn biểu thức P 2/ Biết a – b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 2 (2.0 điểm ) : Trên quãng đờng AB dài 210km, tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành đi từ A về B và một ôtô khởi hành đi từ B về A. Sau khi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nửa thì đến B và ôtô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng xe máy và ôtô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đuờng. Tính vận tốc của xe máy và ôtô Bài 3(2.0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) : y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx – m – 2 a/ Chứng minh rằng khi m thay đổi (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hòanh độ x1 ; x2 b/ Tìm m để : xx12−=20 Bài 4 (3.0điểm) : Cho tam giác ABC đờng tròn (ω ) có tâm O tiếp xúc với các đoạn thẳng AB, AC tương ứng tại K, L. Tiếp tuyến (d) của đường tròn (ω ) tại E thuộc cung nhỏ KL cắt đường thẳng AL, AK tơng ứng tại M, N. Đường thẳng KL cắt OM tại P và cắt ON tại Q 1 a/ Chứng minh : MON =900 − BAC 2 b/ Chứng minh rằng đường thẳng MQ, NP và OE cùng đi qua một điểm c/ Chứng minh KQ.PL = EM.EN Bài 5 (1.0 điểm ) : Cho các số thực dơng x, y thoả mãn điều kiện : x+= y() x − y xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19. 18 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2012– 2013 Môn: TOÁN (VÒNG 2) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 16 Câu 1 (1,5 điểm): Giải phương trình: xx22++2 2 xx +−++−= 2 12 xx 2 4 40 Câu 2 (2 điểm): a) Cho các số a,b,c đôi một phân biệt thỏa mãn: abc22(+= ) bac ( += ) 2012 Tính giá trị của biểu thức: M= cab2 () + b) Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số dương trong chúng không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương. Câu 3 (2 điểm): Cho n số thực xx12, ,....., xn với n ≥ 3. Kí hiệu Max{ x12, x ,....., xn }là số lớn nhất trong các số xx12, ,....., xn .Chứng minh rằng: xx++..... + x xx−+−+ xx..... + x− −+− x xx Max{ x, x ,....., x } ≥+12 n 12 23 n1 nn1 12 n nn2 Câu 4 (1,5 điểm): Trong một lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột(Các hàng được đánh số từ 1 đến 4, các cột được đánh số từ 1 đến 9). Sĩ số học sinh của lớp là 35. Sau một học kì cô giáo chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho các bạn học sinh trong lớp. Đối với mỗi học sinh của lớp, giả sử trước khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở hàng thuộc hàng thứ m , cột thứ n và sau khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở hàng thuộc hàng am , cột thứ an , ta gắn cho bạn đó số nguyên( am + an ) −+()mn. Chứng minh tổng của 35 số nguyên gắn với 35 bạn học sinh không vượt quá 11. Câu 5: (3,0 điểm) Cho chình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ CD của (O), M khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự tại X,Z; MB cắt CA, CD theo thứ tự tại Y, T; CX cắt DY tại K. a) Chứng minh rằng: MXT = TXC,MYZ = ZYD và CKD = 1350 . KX KY ZT b) Chứng minh rằng: ++=1 MX MY CD c) Gọi I là giao điểm của MK và CD. CMR: XT, YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT. TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20. 19 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2011– 2012 Môn: TOÁN (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 17 x− y x22 ++− y y24 x4 + 4 xy 2 +− y 2 4 = + Câu 1. (2,0 điểm). Cho biểu thức A 2 22: 2yx− 2y+− xy x x +++ y xy x với x>0, y > 0, x ≠ 2 yy , ≠− 2 2 x2 . 1) Rút gọn biểu thức A. 2 2) Cho y = 1, hãy tìm x sao cho A = . 5 Câu 2. (2,0 điểm) Một nhóm công dân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm, nên đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công dân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Câu 3. (2,0 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – m2 + 3, m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2. Với giá trị nào của m thì x1, x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam 5 giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng . 2 Câu 4. (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10. Dây cung CD của đường tròn (O) vuông góc với AB tại điểm E sao cho AE = 1. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, AK và CE cắt nhau tại M. 1) Chứng minh AEC  OBK. Tính BK 2) Tính diện tích tam giác CKM. Câu 5. (1,0 điểm). Cho hình thoai ABCD có ∠=BAD 120o . Các điểm M và N chạy trên các cạnh BC và CD tương ứng sao cho ∠=MAN 30o . Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN thuộc một đường thẳng cố định. Câu 6. (1,0 điểm). Chứng minh bất đẳng thức 111 1 ++++>... 4. 1+++ 2 3 4 5 6 79 + 80 TÀI LIỆU TOÁN HỌC