Tuyển tập các bài Toán Hình học trong đề tuyển sinh vào 10 - Năm học 2018-2020

Nội dung tài liệu: Tuyển tập các bài Toán Hình học trong đề tuyển sinh vào 10 - Năm học 2018-2020

1. Tailieumontoan.com  Sưu Tầm TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2019-2020 Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019
2. 1 TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2019-2020 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em tuyển tập các bài toán hình học trong đề tuyển sinh vào 10 môn toán năm học 2019-2020. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều đề thi để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về cấu tạo số thường được ra trong các kì thi gần đây. Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này! Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3. 2 Câu 1: [TS10 Bắc Ninh, 2019-2020]~[9H1B4] Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC HB 1 . Biết AH12 cm , . Tính độ dài đoạn BC là HC 3 Lời giải HB 1 Theo đề bài ta có: HC 3 HB . Áp HC 3 dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ta có AH2 BH. HC 12 BH .3 BH BH2 42 BH HC 3. HB 3.2 6 BC HB HC 2 6 8 cm Câu 2: [TS10 Bến Tre, 2019-2020]~[9H1B2] Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB 3 cm , AC 4 cm . Tính đọ dài đường cao AH, tính cos ACB và chu vi tam giác ABH. Lời giải Ta có: AB, AC 12 BC 5 AH BC 5 AC 4 AB2 9 cos ACB ; cos ACB ; BH BC 5 BC 5 36 Chu vi tam giác ABH là: . 5 Câu 3: *TS10 Bình Phước, 2019-2020]~[9H1B1] Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường trung tuyến AM . Biết AH 3 cm ; HB 4 cm . Hãy tính AB,, AC AM và diện tích tam giác ABC . Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4. 3 A C H M B Xét AHB vuông tại H , theo định lí Pitago, ta có: AB2 AH 2 HB 2 AB2 3 2 4 2 9 16 25 AB 25 5 ( cm ) Xét ABC vuông tại A , có đường cao AH . 1 1 1 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: AH2 AB 2 AC 2 1 1 1 1 1 1 1 AC2 AH 2 AB 23 2 5 2 9 25 1 16 225 225 15 AC 2 AC ()cm AC 2 225 16 16 4 Xét ABC vuông tại A , theo định lí Pitago, ta có: BC2 AB 2 AC 2 2 22 15 225 625 BC 5 25 4 16 16 625 25 BC ()cm 16 4 ABC vuông tại A , AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC 1 1 25 25 AM BC  ()cm 2 2 4 8 1 1 15 75 Diện tích tam giác ABC : S  AB  AC 5  (cm2 ) ABC 2 2 4 8 Câu 4: *TS10 Lâm Đồng, 2019-2020]~[9H1B1] Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao H BC . Biết BH 3cm, BC 9cm. Tính độ dài AB . Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5. 4 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác A vuông tại , đường cao ta có: AB2 BH.BC AB2 3.9 AB 27 3 3 cm B H C Câu 5: [TS10 Long An, 2019-2020]~[9H1B1] Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH ( H BC ). Biết BH 3,6cm và HC 6,4 cm. Tính độ dài BC,,, AH AB AC . Lời giải p dụn Pit o vào t m i c vu n ABH C AB2 AH 2 BH 2 AH2 AB 2 BH 2 5 2 3 2 16 AH 4 ( cm ) 25 BH.BC AB22 BH.13 5 BH (cm) . 13 p dụn hệ thức lượn vào t m i c vu n ABC AH 2 16 AH2 BH.CH CH cm BH 3 H 16 25 Do đó BC BH CH 3 cm 33 3cm p dụn Pit o vào t m i c vu n ABC 16 25 400 AC2 CH.BC  B 3 3 9 A 5cm 20 AC cm ) 3 CH 16 20 4 sinCAH : CA 3 3 5 Câu 6: [TS10 Tây Ninh, 2019-2020]~[9H1B1] Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường trung tuyến BM (M thuộc cạnh AC ). Biết AB 2 a . Tính theo a độ dài AC , AM và BM . ABC A Lời giải AH Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6. 5 AC Ta có: AC AB2 a; AM a ; BM2 AB 2 AM 2 ; BM 5 a 2 Câu 7: [TS10 Thái Nguyên, 2019-2020]~[9H1Y1] Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 10cm, AH = 6cm, Tính độ dài các cạnh AC, BC của tam giác ABC. Lời giải 1 1 1 AH2 AB 2 AC 2 1 1 1 62 10 2AC 2 1 1 1 36 100 AC 2 64 1 36.100 AC 2 15 AC() cm 2 Ta có: AH.BC = AB.AC 15 6.BC = 10. 2 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7. 6 25 BC = ()cm 2 A Câu 8: *TS10 Vĩnh Lon , 2019-2020]~[9H1G1] Cho tam giác ABC có AB 4 cm , AC 4 3 cm , BC 8 cm . a) Chứng minh tam giác ABC vuông. b) Tính số đo BC, và độ dài đường cao AH của tam giác ABC. B H C Lời giải a) Ta có: AB2 4 2 16; AC 2 (4 3) 2 48;BC 2 8 2 64 AB2 AC 2 16 48 64 BC 2 ABC vuông tại A (định lý Pit o đảo). b) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong ABC ta có: AB 41 cos BB 60 BC 82 CBA 180 180  60  90  30  Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A và có đường cao AH ta có: AB. AC 4.4 3 AH.. BC AB AC AH 2 3 cm BC 8 Vậy B 60 , C 30 , AH 2 3 cm . Câu 9. [TS10 Ninh Bình, 2019-2020] Trên một khúc sông với 2 bờ song song với nhau, có một chiếc đò dự định chèo qua sông từ vị trí A ở bở bên này sang vị trí B ở bờ bên ki , đường thẳng AB vuông góc với các bờ sông. Do bị dòn nước đẩy xiên nên chiếc đò đã cập bờ bên kia tại vị tri C cách B mội khoảng bằng 30 m. Biết khúc sông rộng 150 m, hỏi dòn nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến giây). Lời giải 1. B 30m C Ta có hình vẽ : Ta có AB BC ABC vuông tại B 150m AB 150 Do đó tan ACB 5 ACB 780 41'24" BC 30 V ậy dòn nước đã đẩy chiếc đò đi lệch một góc có số đo bằng A Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8. 7 Câu 1: [TS10 An Giang, 2019-2020]~[9H3Y7] Cho tam gia c ABC vu n tại A có AB 4 cm , AC 3 cm . Lâ y điêm D thuộc cạnh AB AB AD . Đườn tròn O đường kính BD cắt CB tại E , k o dài CD cắt đườn tròn O tại F . a) Chứng minh rằn ACED là tứ i c nội tiếp. b) Biết BF 3 cm . Tính BC và diện tích t m i c BFC . c) K o dài AF cắt đường tròn O tại điểm G . Chứng minh rằn BA là tia phân i c của óc CBG . Lời giải C C E E B A D O B A D O F (Hình vẽ cho câu a; 0,5đ) G a) Chứng minh rằn là tứ i c nội tiếp. CAD 900 ( iả thiết CED 900 ( óc nội tiếp chắn nử đườn tròn) Bốn điểm CDAE,,, cùn nằm trên đườn tròn đườn kính CD Vậy tứ i c là tứ i c nội tiếp. b) Biết . Tính và diện tích t m i c . ABC vu n tại A: BC 2 AB 2 AC 2 4 2 3 2 25 BC 5 BFC vu n tại F : CF2 BC 2 BF 2 5 2 3 2 16 CF 4 11 S . BF . CF .3.4 6 (cm2 ) BFC 22 c) Tứ i c ACBF nội tiếp đườn tròn ( do CAB CFB 900 ) Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9. 8 nên ABC AFC (cùn chắn cun AC ) Mà ABG AFC (cùn bù với DFG ) ABC ABG Vậy BA là tia phân giác của CBG Câu 2: [TS10 Bà Rị Vũn Tàu, 2019-2020]~[9H3B7] Cho nử đườn tròn tâm O đườn kính AB và E là điểm tùy ý trên nử đườn tròn đó (E khác A, B). Lêy1 điểm H thuộc đoạn EB (H khác E, B). Tia AH cắt nử đường tròn tại điểm thứ hai là F. Kéo dài tia AE và tia BF cắt nhau tại I. Đường thẳng IH cắt nử đường tròn tại P và cắt AB tại K. a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn. b) chứng minh AIH ABE PK BK c) Chứng minh: cos ABP PA PB d) Gọi S là i o điểm của tia BF và tiếp tuyến tại A của nử đường tròn (O). Khi tứ giác AHIS nội tiếp được đường tròn , chứng minh EF vuông góc với EK. Lời giải I P F E H A K O B a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn. Ta có: AEB 900 (góc nội tiếp chắn nử đường tròn) HEI 900 (kề bù với AEB ) T. tự, ta có: HFI 900 Suy ra: HEI + HFI 900 +900 1800 tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn (tổn h i óc đối nhau bằng 1800 ) b) chứng minh Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10. 9 Ta có: AIH AFE (cùng chắn cung EH) Mà: ABE AFE (cùng chắn cung AE) Suy ra: c) Chứng minh: ta có: AF BI, BE AI nên suy ra H là trực tâm của IAB IH  AB PK  AB Tam giác ABP vuông tại P có PK là đường cao nên ta có: BP.PA = AB.PK và BP2 AB. BK Suy ra: BP.PA + + AB.PK BP.( PA AIH BP ) ABABE .( PK BK ) BP PK BK PK BK PK BK cos ABP cos ABP AB PA BP PA PB PA BP d) Gọi S là i o điểm của tia BF và tiếp tuyến tại A của nử đường tròn (O). Khi tứ giác AHIS nội tiếp được đường tròn , chứng minh EF vuông góc với EK. S I F E H A B K O Ta có: SA // IH (cùng vuông góc với AB) Tứ giác AHIS là hình thang. Mà tứ giác AHIS nội tiếp được đường tròn (gt) Suy ra: AHIS là hình thang cân. ASF vuông cân tại F AFB vuông cân tại F Ta lại có: FEB FAB BEK 450 FEK 2. FEB 900 EF  EK Câu 3: [TS10 Bắc Giang, 2019-2020]~[9H3K7] Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11. 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O đường kính AC BA BC . Trên đoạn thẳng OC lấy điểm I bất kỳ IC . Đường thẳng BI cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là D. Kẻ CH vuông góc với BD H BD , DK vuông góc với AC K AC . a) Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp. b) Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4cm và ABD 60o . Tính diện tích tam giác ACD. c) Đường thẳn đi qu K song song với BC cắt đường thẳng BD tại E. Chứng minh rằng khi I th y đổi trên đoạn thẳng OC IC thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định. Lời giải B E A K C O I H D a) + Chỉ r được DHC 900 ; + Chỉ r được AKC 900 Nên H và K cùng thuộc đườn tròn đường kính CD + Vậy tứ giác DHKC nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chỉ r được ACD 600 ; ADC 900 Tính được CD 2 cm ; AD 2 3 cm và diện tích tam giác ACD bằng 2 3cm2 . c) Vì EK// BC nên DEK DBC. Vì ABCDnội tiếp nên DBC DAC. Suyra DEK DAK. Từ đó tứ giác AEKDnội tiếp và thu được AED AKD 90oo AEB 90 . Kết luận khi th y đổi trên đoạn thì điểm luôn thuộc đườn tròn đường kính AB. cố định. Câu 4: [TS10 Bạc Lưu, 2019-2020]~[9H3K7] Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12. 11 Trên nử đườn tròn đường kính AB, lấy h i điểm I, Q sao cho I thuộc cung AQ. Gọi C là i o điểm h i ti AI và BQ; H là i o điểm hai dây AQ và BI. a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp. b) Chứng minh: CI.. AI HI BI . c) Biết AB 2 R . Tính giá trị biểu thức: M AI.. AC BQ BC theo R. Lời giải C Q I H A O B a) Ta có: AIB AQB 900 (góc nội tiếp chắn nử đường tròn) CIH CQH 900 Xét tứ giác CIHQ có CIH CQH 900 90 0 180 0 tứ giác CIHQ nội tiếp b) Xét AHI và BCI có: AIH BIC 900   AHI∽ BCI g. g IAH IBC  AI HI CI.. AI HI BI BI CI c) Ta có: M AI.. AC BQ BC AC AC IC BQ BQ QC AC22 AC.. IC BQ BQ QC AQ2 QC2 AC.. IC BQ2 BQ QC AQ22 BQ QC QC BQ AC. IC AB2 QC.. BC AC IC Tứ giác AIBQ nội tiếp O CIQ CBA (cùng phụ với AIQ ) Xét CIQ và CBA có: ACB chung   CIQ∽ CBA g. g CIQ CBA  IC QC QC.. BC AC IC BC AC QC. BC AC . IC 0 2 Suy ra: M AB22 24 R R Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13. 12 Câu 5: [TS10 Bắc Ninh, 2019-2020]~[9H3B7] Cho đường tròn O , h i điểm AB, nằm trên O sao cho AOB 90º . Điểm C nằm trên cung lớn AB sao cho AC BC và tam giác ABC có b óc đều nhọn. Các đường cao AI, BK của tam giác ABC cắt nhau tại điểmH . BK cắt O tại điểmN (khác điểmB ); AI cắt O tại điểmM (kh c điểmA ); NA cắt MB tại điểmD . Chứng minh rằng: a) Tứ giác CIHK nội tiếp một đường tròn. b) MN là đường kính củ đường tròn O . c) OC song song với DH . Lời giải a)Ta có C HK KC HKC HIC 90º 90º 180º . HI IC N Do đó,CIHK là tứ giác nội tiếp. O K b) Do tứ giác nội tiếp nên M I 11 H 45º ICK BHIsđ BM sđ AN . A B 22 sđBM sđ AN 90  . MN AB() BM AN Suy ra, sđ sđ sđ sđ hay MN 90 90 180º là đường kính của O . D c) Do MN là đường kính của O nên MA DN, NB DM . Do đó, H là trực tâm tam giác DMN hay DH MN . Do IK, cùng nhìn AB dưới góc 90º nên tứ giác ABIK nội tiếp. Suy ra, CAI CBKsđ CM sđ CN C là điểm chính giữa của cung MN CO MN . Vì AC BC nên ABC không cân tại C do đó COH,, không thẳng hàng. Từ đó suy r CO // DH . Câu 6: [TS10 Bến Tre, 2019-2020]~[9H3K7][9D5G1] Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14. 13 Cho tam giác ABC vuông cân ở A, đường cao AH H BC . Trên AC lấy điểm M MAMC , và vẽ đườn tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt AH tại E và cắt đường tròn tại D. Đường thẳng AD cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng: a) Tứ giác CDEF là một tứ giác nội tiếp. b) BCA ACS. Lời giải a) Vì AH BC nên EDC 900 Vì BD CD nên EHC 900 EDC EHC 1800 và EDC, EHC đối nhau Vậy tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp. b) Ta có: ADB MCS ; ADB ACB Nên BCA ACS Câu 7: *TS10 Bình Dươn , 2019-2020]~[9H3B7] Cho đường tròn OR; . Từ một điểm M ở n oài đường tròn OR; sao cho OM 2 R , vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với O ( AB, là hai tiếp điểm). Lấy một điểm N tuỳ ý trên cung nhỏ AB. Gọi IHK,, lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên AB,,. AM BM 1) Tính diện tích tứ giác MAOB theo R. 2) Chứng minh: NIH NBA. 3) Gọi E là i o điểm của AN và IH, F là i o điểm của BN và IK . Chứng minh tứ giác IENF nội tiếp được tron đường tròn. 4) Giả sử ONM,, thẳng hàng. Chứng minh: NA2 NB 22 R 2 Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15. 14 1. Tính diện tích tứ giác MAOB theo R . Xét tam giác OAM và tam giác OBM ta có: OA OB R ; OM chung; MA MB (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau); OAM OBM (c.c.c) SS OAM OBM SSSSMAOB OAM OBM 2 OBM Áp dụn định lí Pytago trong tam giác vuông OAM ta có: 2 AM2 OM2 OA 2 23 R R2 R 2 AM R 3 . 1 S 2 S 2. . OA . AM R . R 3 R2 3 (đvdt). MAOB OAM 2 2) Chứng minh NIH NBA Xét tứ giác AINH có: AIN AHN 900 90 0 180 0 Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổn h i óc đối bằng 1800 ). NIH NAH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN ). Mà NAH NBA (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AN của O ) NIH NBA NAH (đpcm). 3. Gọi E là giao điểm của AN và IH , F là giao điểm của BN và IK . Chứng minh tứ giác IENF nội tiếp được trong đường tròn. Xét tứ giác NIBK ta có NIB NKB 90 90  180  Mà h i óc này là h i óc đối diện NIBK là tứ giác nội tiếp. KBN NIK X t đường tròn O ta có: KBN NAB Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16. 15 NIK NAB() KBN Xét ANB ta có: ANB NAB NBA 180 Lại có: NIH NAB NIE; NIK NAB NIF ; ANB ENF ENF EIN NIF ENF EIF 180 Mà ENF, EIF là h i óc đối diện Tứ giác NEIF là tứ giác nội tiếp. 4) Giả sử thẳng hàng. Chứng minh: 1 Theo đề bài ta có: thẳng hàng ON R OM N là trun điểm của OM. 2 Ta có: ON AB{} I I là trun điểm của AB . Lại có: OA OB R ON là đường trung trực của AB NA NB OA R 1 Xét MAO ta có: cos AOM AOM 60 AON OM22 R OA ON R Xét AON có: AON là t m i c đều.  AON 60 NA ON OA R NB NA2 NB 2 R 2 R 2 2 R 2 (đpcm) Câu 8: *TS10 Bình Phước, 2019-2020]~[9H3B7] Cho đường tròn tâm O đường kính AB 2 R . Gọi C là trun điểm của OA , qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn ()O tại h i điểm phân biệt M và N . Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M ). Gọi H là i o điểm của AK và MN . a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh AK. AH R2 . c) Trên tia KN lấy điểm I sao cho KI KM . Chứng minh NI BK . Lời giải a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn. ONM,, NA2 NB 22 R 2 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17. 16 M K H A B C O N Vì AB HC tại C nên BCH 900 ; Ta có: AKB 900 (Góc nội tiếp chắn nử đường tròn) BKH 900 Xét tứ giác BCHK có: BCH BKH 900 90 0 180 0 Mà BCH; BKH là h i óc đối nhau. Suy ra: Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AK. AH R2 . M K H A B C O N Xét ACH và AKB có: ACH AKB 900 ; BAK là góc chung; Do đó: ACH AKB(.) g g AH AC R AH. AK AB . AC 2 R  R2 AB AK 2 Vậy AK. AH R2 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18. 17 c) Trên tia KN lấy điểm I sao cho KI KM . Chứng minh NI BK . E M K H B A C O I N Trên ti đối của tia KB lấy điểm E sao cho KE KM KI Xét OAM có MC là đườn c o đồng thời là đường trung tuyến (vì C là trun điểm của OA ) OAM cân tại M AM OM . Mà OA OM R OA OM AM OAM là t m i c đều OAM 600 Ta có: AMB 900 (Góc nội tiếp chắn nử đường tròn) AMB vuông tại M ABM 300 Xét BMC vuông tại C có: BMC MBC 900 BMC 900 MBC 90 0 30 0 60 0 BMN 600 (1) Vì tứ giác ABKM là tứ giác nội tiếp nên EKM MAB 600 Mặt khác: KM KE (cách dựng) EKM cân tại K Và EKM 600 EKM là t m i c đều. KME 600 (2) Từ (1) và (2) suy ra: BMN KME 600 BMN BMK KME BMK NMK BME CM 1 Xét BCM vuông tại C có: sinCBM sin300 BM 2 CM BM 2 Mà OA MN tại C C là trun điểm của MN (đường kính vuông góc với dây cun thì đi qu trun điểm của dây cung). Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19. 18 MN2 CM MN BM (vì 2CM ) Xét MNK và MBE có: MNK MBE (Hai góc nội tiếp cùng chắn MK ) MN BM() cmt NMK BME() cmt Do đó: MNK MBE(..) g c g NK BE (Hai cạnh tươn ứng) IN IK BK KE Mà IK KE (vẽ hình) Suy ra: IN BK Câu 9: *TS10 Bình Định, 2019-2020]~[9H3B7][9H3K3][9H0K7] Cho đường tròn tâm O , bán kính R và một đường thẳng d không cắt đường tròn ()O . Dựn đường thẳng OH vuông góc với đường thẳng d tại điểm H . Trên đường thẳng d lấy điểm K (kh c điểm H ), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA và KB với đường tròn ()O , ( A và B là các tiếp điểm) sao cho A và H nằm về hai phía củ đường thẳng OK . a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp được tron đường tròn. b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH tại điểm I . Chứng minh rằng IA IB IH  IO và I là điểm cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng d cố định. c) Khi OK 2 R , OH R 3 . Tính diện tích tam giác KAI theo R . Lời giải a) Ta có KAO 90 ( KA AO ) , KHO 90 ( OH KH ) Xét tứ giác có KAO KBO 180 nên là tứ giác nội tiếp. b) Ta có KBO KAO 180 nên KAOB là tứ giác nội tiếp và đỉnh HBA,, cùng nhìn cạnh OK dưới một góc vu n nên năm điểm KABOH,,,, cùng thuộc đường tròn đường kính Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20. 19 Xét tam giác IAH và tam giác IOB có HIA BIO (đối đỉnh) và AHI ABO (hai góc nội IA IO tiếp cùng chắn cung AO ). Do đó IAH∽ IOB(.) g g IA  IB IH  IO . IH IB Xét tứ giác AOBH có OHB là góc nội tiếp chắn cung OB, OBA là góc nội tiếp chắn cung OA; Mà OA OB R nên OHB OBA. Xét OIB và OBH có BOH góc chung và OHB OBA (cmt). OI OB OB22 R Do đó OIB∽ OBH(.) g g OI . OB OH OH OH Ta lại có đường thẳng d cố định nên OH kh n đổi (OH d ). Vậy điểm I cố định khi K chạy trên đường thẳng d cố định. c) Gọi M là i o điểm của OK và AB Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB; Lại có OA OB R nên OK là đường trung trực của AB, suy ra AB OK tại M và MA MB . RRR22 Theo câu b) ta có OI . OH R 33 Xét OAK vuông tại A , có OA22 R R OA2 OM  OK OM OK22 R RR3 Suy ra KM OK OM 2 R 22 RRRR3 3 2 3 AM2 OM  KM  AM 2 2 4 2 Xét OMI vuông tại M , có 2 2 22 RRR 3 MI OI OM 3 26 RRR3 3 2 3 Suy ra AI AM MI 2 6 3 1 1 3RRR 2 32 3 Diện tích AKI là S AI  KM   2 2 2 3 2 Câu 10: [TS10 Cần Thơ, 2019-2020]~[9H3B7][9H3K7][9H3G7] Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn tâm O. C c đường cao BD và CE cắt nhau tại H D thuộc AC, E thuộc AB . Gọi MN, lần lượt là trun điểm của các cạnh AB và AC. a) Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp. b) Chứng minh AE... AM AD AN c) Gọi K là i o điểm của ED và MN, F là i o điểm của AO và MN, I là i o điểm của ED và AH. Chứng minh F là trực tâm của tam giác KAI. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC